У нас был один из постулатов,
что существует оператор ,
который называется гамильтонианом и который определяет динамику системы, то есть
изменение вектора состояния
за единицу времени получается как результат действия оператора
на вектор состояния в данный момент времени:
Это
аналог Второго закона Ньютона. Этот оператор что такое?
Для
частицы в потенциальном поле сил гамильтониан H
– это полная энергия частицы, выраженная через координаты и импульс: . Тогда оператор
по нашему рецепту будет:
[an error occurred while processing this directive]
Задача на
собственные векторы оператора энергии ставится так: оператор действует на вектор
, даёт число
,
:
. В координатном представлении векторы
задаются функциями
:
. Для частицы в связанном состоянии спектр
собственных значений оператора энергии дискретен (энергия в этом случае квантуется),
в несвязанном состоянии спектр собственных значений непрерывен (энергия не квантуется).
То есть, если частица может уйти на бесконечность, то любое действительное число
может представлять её энергию, а если не может уйти на бесконечность, то тогда
энергия может принимать определённые значения. Как найти эти собственные значения
и собственные векторы?
В координатном представлении
оператор изобразится так:
Тогда
уравнение на собственные значения перепишется в координатном
представлении таким образом:
.
Сейчас мы его перепишем так:
.
Это уже знакомое уравнение, это уравнение Шредингера для стационарных состояний.
Это означает то, что мы с вами делали, мы решали задачу на собственные значения
оператора энергии.
Для
свободной частицы должно оказаться, что спектр собственных значений непрерывен,
проверим. Для свободной частицы никакой потенциальной энергии нет: . Тогда задача на собственные векторы приводит к
такому уравнению:
(я не пишу индексы, потому что на самом деле они
и не появятся) или
, обозначим
, тогда легко убедиться, что функция
является решением этого уравнения.1)
Собственные
значения нумеруются вектором , мы можем написать так:
,
или в координатном представлении
. Мораль такая: задайте
любой вектор
, этому вектору будет отвечать функция
с таким собственным значением:
. И, действительно,
мы видим, что спектр собственных значений непрерывен, потому что вектор
любой.