Атом водорода Классическая теория теплоёмкости Дебаевская теория Решётка Браве Проводимость твёрдых тел Проводники, полупроводники и изоляторы Прикладная математика и физика Электромагнитное взаимодействие Первообразная функция Интегрирование Вычислить производную задачи

Поток вектора.Теорема Гаусса Поле равномерно заряженной неограниченной плоскости Дивергенция. Теорема Остроградского Гаусса. Теорема о циркуляции. начало

 

Теорема Остроградского-Гаусса

Поток вектора a через произвольную замкнутую поверхность S равен интегралу дивергенции этого вектора по объему V, ограниченному этой поверхностью:

(2.15)

Разобъем весь объем, заключенный внутри поверхности S на элементарные кубики типа изображенных на рис. 2.7. Грани всех кубиков можно разделить на внешние, совпадающие с поверхностью S и внутренние, граничащие только со смежными кубиками. Сделаем кубики настолько маленькими, чтобы внешние грани точно воспроизводили форму поверхности. Поток вектора a через поверхность каждого элементарного кубика равен

,

а суммарный поток через все кубики, заполняющие объем V, есть

(2.16)

Рассмотрим входящую в последнее выражение сумму потоков dФ через каждый из элементарных кубиков. Очевидно, что в эту сумму поток вектора a через каждую из внутренних граней войдет дважды.

Рис. 2.8

Рассмотрим два смежных кубика , поверхности которых обозначены как S1 и S2 (рис. 2.8), причем смежная грань входит как в S1 так и в S2. Очевидно, что при подсчете потока через S1 угол между внешней нормалью к этой грани и вектором а острый и вклад от этой грани в поток будет положительным. А при подсчете потока через S2 вклад от этой грани будет, очевидно, отрицательным.

Тогда полный поток через поверхность S=S1+S2 будет равен сумме потоков через только внешние грани, поскольку сумма потоков через внутреннюю грань даст ноль. По аналогии можно заключить, что все относящиеся к внутренним граням члены суммы в левой части выражения (2.16), сократятся. Тогда, переходя в силу элементарности размеров кубиков от суммирования к интегрированию, получим выражение (2.15), где интегрирование производится по поверхности, ограничивающей объем.

Заменим в соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса поверхностный интеграл в (2.12) объемным

и представим суммарный заряд как интеграл от объемной плотности по объему

Тогда получим следующее выражение

Полученное соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно только в том случае, если значения подинтегральных функций в каждой точке объема одинаковы. Тогда можно записать

(2.17)

Последнее выражение представляет собой теорему Гаусса в дифференциальной форме.

 

Теорема о циркуляции

Поскольку электростатическое поле является центральным, то силы, действующие на заряд в таком поле, являются консервативными (см. любой учебник по механике). Так как Edl представляет собой элементарную работу, которые силы поля производят над единичным зарядом, а работа консервативных сил на замкнутом пути равна нулю, то

(2.18)

Это утверждение называется теоремой о циркуляции вектора E.

Решение задач по физике, электротехнике, математике