Математика Задачи

Функции нескольких переменных и их дифференцирование

   Найдём производные по $ x$ и $ y$ функции $ z={\varphi}(x;y)$ , неявно заданной в окрестности точки $ (2;-1;2)$ уравнением $\displaystyle x^2y+y^4z^2+xz^3=16.$

Пределы функций нескольких переменных

Пусть $ {\delta}>0$ . Назовём $ {\delta}$ -окрестностью точки $ x^0\in\mathbb{R}^n$ открытый шар $ B^{x^0}_{{\delta}}$ радиуса $ {\delta}$ с центром в точке $ x^0$ .

Пределы функций нескольких переменных  Множества $\displaystyle O_r=\{x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert\geqslant r\}=\complement B_r^0,$

Найдём частные производные функции $ f(x;y)=\frac{\textstyle{x^2+3y^2}}{\textstyle{xy}}$ по переменным $ x$ и $ y$ .

Найдём дифференциал функции трёх переменных $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=x_1^3x_2^2x_3.$

Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2y+x^3y^2.$

 Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=\sin(x^2y^3z^4).$

 

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Пусть требуется приближённо вычислить значение $\displaystyle \sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}.$

Производные неявно заданной функции

 Пусть функция $ z={\varphi}(x;y)$ задана неявно уравнением $\displaystyle x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2=0$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^2+4x+5}.$

Найдём стационарные точки функции $\displaystyle f(x;y)=x^2+xy+y^2-4x-2y,$

Свойства градиента и производной по направлению

Пусть в $ \mathbb{R}^2$ задана функция $\displaystyle f(x_1;x_2)=x^2_1+\frac{x_2^2}{4}.$

Поверхностями уровня линейной функции $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=2x_1+3x_2-5x_3$

Уравнения параболического типа Простейшим представителем уравнения этого типа является уравнение теплопроводности ,

Интегрироване тригонометрических функций

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}.$

Найдём определённый интеграл $\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$

Для вычисления интеграла $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}.$

Для вычисления интеграла $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t\cos t\;dt.$

Найдём интеграл $ \int(2\sin x+5\cos x)\,dx$ , пользуясь линейностью интеграла

Вычислим интеграл $\displaystyle I=\int e^x\cos x\,dx.$

  Найдём интеграл $\displaystyle \int\cos^4x\,dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\sin^5x\sqrt[3]{\cos x}\,dx.$

Интегралы от произведений синусов и косинусов

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\cos5x\sin7x\,dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\cos^4x\sin^2x\,dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}dx.$

Найдём интеграл $\displaystyle \int\sin^3x\cos^2x\,dx.$

Интеграл произведения синусов и косинусов

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

пример

пример

задача

 

Применение интегралов при вычисление плащадей и обьемов

Найдём объём $ V$ тела, ограниченного поверхностью вращения линии $ y=4x-x^2$ вокруг оси $ Ox$ (при $ 0\leqslant x\leqslant 4$ ).

Вычислим площадь $ Q$ поверхности вращения, полученной при вращении дуги циклоиды $ x=t-\sin t;\ y=1-\cos t$ ,

при $ t\in[0;2\pi]$ , вокруг оси $ Ox$ .

Вычислим площадь $ Q$ поверхности, образованной вращением в пространстве вокруг оси $ Ox$ части линии $ y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ , расположенной над отрезком $ [0;1]$ оси $ Ox$ .

Найдём площадь $ S$ ограниченной области, лежащей между осью $ Ox$ и линией $ y=x^3-x$ .

Найдём площадь $ S$ области, заключённой между первым и вторым витком спирали Архимеда $ r=a{\varphi}$ ($ a>0$ ) и отрезком горизонтальной оси $ {\varphi}=0$ .

Найдём площадь $ S$ области, ограниченной частью спирали $ r=a{\varphi}^2$ ($ a>0$ ) при $ {\varphi}\in[0;2\pi]$ и отрезком $ [0;4\pi^2a]$ оси $ Ox$

Вычислим длину $ l$ дуги линии $ y=\ln\cos x$ , расположенной между прямыми $ x=0$ и $ x=\frac{\pi}{3}$ .

Найдём длину $ l$ отрезка параболы $ y=\frac{x^2}{2}$ , лежащего между точками $ O(0;0)$ и $ A(1;\frac{1}{2})$ .

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса $ R$ : $ x^2+y^2=R^2$ , горизонтальной плоскостью $ z=0$ и наклонной плоскостью $ z=2y$ и лежащего выше горизонтальной плоскости $ z=0$

Вычисление длины плоской линии

Найдём уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (гиперболическому параболоиду) $\displaystyle z=\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$

Найдём уравнения касательной плоскости и нормали, проведённых к поверхности уровня функции $ f(x;y;z)=x^2+y^2+4z^2$ , проходящей через точку $ M_0(-2;1;-1)$ .

Найдём площадь ограниченной области, лежащей между графиками $ y=x^2$ и $ y=\sqrt{x}$

Найдём площадь ограниченной области $ \mathcal{D}$ , лежащей между графиками $ y=x^3$ и $ y=x^5$

Найдём площадь $ S$ фигуры, расположенной под графиком функции -->$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ над промежутком $ [0;1)$ .

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Пусть в плоскости $ xOy$ рассматривается линия $ y=\cos x$ на отрезке $ \bigl[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\bigr]$

Вычисление длины плоской линии

  Найдём уравнения касательной и нормали, проведённых к линии уровня $ C=3$ функции $ f(x;y)=2x^2y^3+xy^4$ в точке $ M_0(1;1)$ .

Найдём область определения функции двух переменных $\displaystyle f(x;y)=\ln(x^2+y^2-4).$

Вычисление длины плоской линии

Пусть линия на плоскости с полярными координатами $ (r;{\varphi})$ задана уравнением $ r=a\vert\sin^3\frac{{\varphi}}{3}\vert$ ($ a>0$ ).

Найдём уравнение касательной плоскости к поверхности $ S$ , заданной уравнением $\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2-z=0,$

Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $\displaystyle z=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9},$

Пусть поверхность $ S$ задана уравнением $\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}=1$

Геометрические приложения определенного интеграла

Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.

Вычисление неберущихся интегралов

Неберущимся является интеграл $\displaystyle \int e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\Phi(x)+C.$

Не берётся интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{\ln x}=\mathop{\mathrm{li}}\nolimits (x)+C$

Ещё один неберущийся интеграл: $\displaystyle \int\frac{\cos x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Ci}}\nolimits (x)+C.$

 

Не берётся также интеграл $\displaystyle \int\frac{\sin x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Si}}\nolimits (x)+C.$

   Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл: $\displaystyle \int e^{-x^2}dx.$

Несобственные интегралы первого и второго рода

Свойства несобственных интегралов первого рода

Рассмотрим несобственный интеграл $\displaystyle I=\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{1+x^2}\;dx.$

Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{x^2+3x+2}{\sqrt{x^5-1}}dx.$

Вычислим значение интеграла $\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx.$

Покажем, что интеграл Эйлера - Пуассона $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$ сходится.

Рассмотрим теперь несобственный интеграл $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\;dx.$

Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.$

Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{x^2-x-5}{x^8+1}dx.$

Несобственные интегралы второго рода

Рассмотрим интеграл $\displaystyle Y(p)=\int_0^1\frac{dx}{x^p}.$

Найдём производную функции $\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt.$

Найдём производную функции $\displaystyle f(x;y;z)=xy^2z+3x^2yz^3$

Найдём производную функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2+2xy$

Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле

Формула замены переменного в определённом интеграле

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx,$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{dx}{x\ln x}.$

 Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{2x+3}{(x^2+2x+2)^3}dx.$

 

Формула интегрирования по частям

Найдём интеграл $ \int e^xx\,dx$ , применив формулу интегрирования по частям.
Найдём интеграл $\displaystyle \int xe^{-3x}dx$ при помощи интегрирования по частям.

Вычисление неопределенного интеграла

Вычисление неопределенного интеграла

$\displaystyle \int\frac{e^xdx}{\sqrt{1-e^{2x}}},$$\displaystyle \int\frac{x^3-1}{4x^3-x}dx.$$\displaystyle \int\frac{2x^4-4x^3+2x^2-4x-4}{x^5-x^4-x+1}dx.$
$\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx.$$\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-ax}dx,$$\displaystyle \int\frac{dx}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}.$
$\displaystyle I=\int\sqrt{1-x^2}\,dx.$$ \int e^{x^2}x\,dx$$\displaystyle \int\frac{1+x}{1+\sqrt{x}}dx.$


Найдём значение функции $\displaystyle F(x)=\int_1^x\ln t\;dt.$

Вычислим интеграл с переменным верхним пределом: $\displaystyle F(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt.$

Вычислим интеграл от интегральной экспоненты $ \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ .

 

Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1^2+3x_1x_2+2x_2^2-4x_1+3x_2$ , заданную на всей плоскости $ \mathbb{R}^2=x_1Ox_2$
Интеграл с переменным верхним пределом
Для нахождения значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$ найдём первообразную для подынтегральной функции $ f(x)=x^2$ , вычислив неопределённый интеграл:

Теорема о неявной функции

Рассмотрим уравнение $\displaystyle g(x;y)=x^2+y^2=0$

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{3x+5}{\sqrt{4x^2+4x+5}}dx.$

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

 Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}.$

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций
Матрица Гессе
 Найдём квадратичное приближение для функции $ f(x;y)=x^y$ в окрестности точки $ M(1;1)$ и вычислим приближённо значение выражения $ 0{,}98^{1{,}05}$ .
Пусть функция $ f(x)=x_1^3+x^3_2$ определена на всей плоскости $ \mathbb{R}^2$ с переменными $ (x_1;x_2)$ .
Функция $ f(x_1;x_2)=x_1+x_2$ определена на всей плоскости $ \mathbb{R}^2$ .
Связные множества
Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты
Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ x$ и $ \sqrt{ax^2+bx+c}$

Первообразная и производная

Частные производные

Рассмотрим функцию, заданную при $ x=(x_1;x_2)\in\mathbb{R}^2$ :

Пусть $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=x_1^3x_2^2x_3^4.$

Равенство смешанных частных производных

Если две производных $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$ и $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$

Вычислим частные производные функции двух переменных $\displaystyle f(x_1;x_2)=x_1^2+x_1x_2^3+3x_1-2x_2$

Частные производные высших порядков

Вычислим $ \frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_1^2\pat x_2}}$ для функции $ f$ из предыдущего примера.

Производная сложной функции

Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$

Рациональные функции и их интегрирование

Разделим с остатком $ {P(x)=x^3+5x^2-2x+1}$  -- многочлен третьей степени -- на бином $ {Q(x)=x-2}$  -- многочлен первой степени:

Разложим рациональную дробь $\displaystyle R(x)=\frac{5x^2+2x-1}{x^3+3x^2+2x+6}$

Разложим на множители многочлен третьей степени $ {Q(x)=x^3+3x^2+2x+6}$ .

Определение первообразной и её свойства

Рассмотрим функцию $ f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}$ на объединении двух интервалов $ \mathcal{D}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ .

Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$ на всей числовой оси $ \mathbb{R}$  -- на интервале $ (-\infty;+\infty)$ . Тогда функция $ F(x)=\frac{x^3}{3}$  -- это первообразная для $ f(x)$ на $ \mathbb{R}$ .

 

 

 

Решение задач по физике, электротехнике, математике