Математика Задачи

Интернет-магазин электроники и бытовой техники

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Китайские косметические средства

Китайская народная медицина

Духи от Dior

Стильные браслеты с уникальным дизайном

Термос Bullet

Часы Hublot механические

Гироскутер SmartWay

Женский Интим-гель

Нужен оригинальный подарок? Закажи

Колебания
Свободные незатухающие
колебания
Затухание свободных
колебаний
Вынужденные колебания
Сложение колебаний
Электpостатика
Электpический заpяд
Закон Кулона
Потенциал
Пpоводники в
электpостатическом поле
Диэлектpики в электpическом
поле
Поток вектоpа напpяженности
Теоpема Гаусса
Электpическая емкость
Основные законы постоянного
тока
Энеpгия электpического поля
Машиностроительное черчение
Физика атомного ядра
Электротехнические материалы
Электромагнетизм
Электромагнитное
взаимодействие
Квантооптические явления
Оптика
Волновая оптика
Электромагнитные волн
Принцип суперпозиции волн
Принцип Гюгенса
Интерференция света
Дифракция света
Опыт Майкельсона.
Теория аберрации Стокса
Интерференция
поляризованных лучей.
Физические основы механики
Молекулярная физика
и термодинамика
Молекулярно-кинетическая
теория
Математика Задачи
Комплексные числа
Дифференциальное и
интегральное исчисление
Интегралы
Основные задачи на прямую
и плоскость
Векторная алгебра
Исследование функции
и построение графика
Производная функции
Свойства комплексных чисел
Локальная сеть

Функции нескольких переменных и их дифференцирование

   Найдём производные по $ x$ и $ y$ функции $ z={\varphi}(x;y)$ , неявно заданной в окрестности точки $ (2;-1;2)$ уравнением $\displaystyle x^2y+y^4z^2+xz^3=16.$

Пределы функций нескольких переменных

Пусть $ {\delta}>0$ . Назовём $ {\delta}$ -окрестностью точки $ x^0\in\mathbb{R}^n$ открытый шар $ B^{x^0}_{{\delta}}$ радиуса $ {\delta}$ с центром в точке $ x^0$ .

Пределы функций нескольких переменных  Множества $\displaystyle O_r=\{x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert\geqslant r\}=\complement B_r^0,$

Найдём частные производные функции $ f(x;y)=\frac{\textstyle{x^2+3y^2}}{\textstyle{xy}}$ по переменным $ x$ и $ y$ . [an error occurred while processing this directive]

Найдём дифференциал функции трёх переменных $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=x_1^3x_2^2x_3.$

Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2y+x^3y^2.$

 Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=\sin(x^2y^3z^4).$

 

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Пусть требуется приближённо вычислить значение $\displaystyle \sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}.$

Производные неявно заданной функции

 Пусть функция $ z={\varphi}(x;y)$ задана неявно уравнением $\displaystyle x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2=0$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^2+4x+5}.$

Найдём стационарные точки функции $\displaystyle f(x;y)=x^2+xy+y^2-4x-2y,$

Свойства градиента и производной по направлению

Пусть в $ \mathbb{R}^2$ задана функция $\displaystyle f(x_1;x_2)=x^2_1+\frac{x_2^2}{4}.$

Поверхностями уровня линейной функции $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=2x_1+3x_2-5x_3$

Уравнения параболического типа Простейшим представителем уравнения этого типа является уравнение теплопроводности ,

Интегрироване тригонометрических функций

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}.$

Найдём определённый интеграл $\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$

Для вычисления интеграла $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}.$

Для вычисления интеграла $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t\cos t\;dt.$

Найдём интеграл $ \int(2\sin x+5\cos x)\,dx$ , пользуясь линейностью интеграла

Вычислим интеграл $\displaystyle I=\int e^x\cos x\,dx.$

  Найдём интеграл $\displaystyle \int\cos^4x\,dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\sin^5x\sqrt[3]{\cos x}\,dx.$

Интегралы от произведений синусов и косинусов

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\cos5x\sin7x\,dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\cos^4x\sin^2x\,dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}dx.$

Найдём интеграл $\displaystyle \int\sin^3x\cos^2x\,dx.$

Интеграл произведения синусов и косинусов

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

пример

пример

задача

 

Применение интегралов при вычисление плащадей и обьемов

Найдём объём $ V$ тела, ограниченного поверхностью вращения линии $ y=4x-x^2$ вокруг оси $ Ox$ (при $ 0\leqslant x\leqslant 4$ ).

Вычислим площадь $ Q$ поверхности вращения, полученной при вращении дуги циклоиды $ x=t-\sin t;\ y=1-\cos t$ ,

при $ t\in[0;2\pi]$ , вокруг оси $ Ox$ .

Вычислим площадь $ Q$ поверхности, образованной вращением в пространстве вокруг оси $ Ox$ части линии $ y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ , расположенной над отрезком $ [0;1]$ оси $ Ox$ .

Найдём площадь $ S$ ограниченной области, лежащей между осью $ Ox$ и линией $ y=x^3-x$ .

Найдём площадь $ S$ области, заключённой между первым и вторым витком спирали Архимеда $ r=a{\varphi}$ ($ a>0$ ) и отрезком горизонтальной оси $ {\varphi}=0$ .

Найдём площадь $ S$ области, ограниченной частью спирали $ r=a{\varphi}^2$ ($ a>0$ ) при $ {\varphi}\in[0;2\pi]$ и отрезком $ [0;4\pi^2a]$ оси $ Ox$

Вычислим длину $ l$ дуги линии $ y=\ln\cos x$ , расположенной между прямыми $ x=0$ и $ x=\frac{\pi}{3}$ .

Найдём длину $ l$ отрезка параболы $ y=\frac{x^2}{2}$ , лежащего между точками $ O(0;0)$ и $ A(1;\frac{1}{2})$ .

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса $ R$ : $ x^2+y^2=R^2$ , горизонтальной плоскостью $ z=0$ и наклонной плоскостью $ z=2y$ и лежащего выше горизонтальной плоскости $ z=0$

Вычисление длины плоской линии

Найдём уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (гиперболическому параболоиду) $\displaystyle z=\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}$

Найдём уравнения касательной плоскости и нормали, проведённых к поверхности уровня функции $ f(x;y;z)=x^2+y^2+4z^2$ , проходящей через точку $ M_0(-2;1;-1)$ .

Найдём площадь ограниченной области, лежащей между графиками $ y=x^2$ и $ y=\sqrt{x}$

Найдём площадь ограниченной области $ \mathcal{D}$ , лежащей между графиками $ y=x^3$ и $ y=x^5$

Найдём площадь $ S$ фигуры, расположенной под графиком функции -->$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ над промежутком $ [0;1)$ .

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Пусть в плоскости $ xOy$ рассматривается линия $ y=\cos x$ на отрезке $ \bigl[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\bigr]$

Вычисление длины плоской линии

  Найдём уравнения касательной и нормали, проведённых к линии уровня $ C=3$ функции $ f(x;y)=2x^2y^3+xy^4$ в точке $ M_0(1;1)$ .

Найдём область определения функции двух переменных $\displaystyle f(x;y)=\ln(x^2+y^2-4).$

Вычисление длины плоской линии

Пусть линия на плоскости с полярными координатами $ (r;{\varphi})$ задана уравнением $ r=a\vert\sin^3\frac{{\varphi}}{3}\vert$ ($ a>0$ ).

Найдём уравнение касательной плоскости к поверхности $ S$ , заданной уравнением $\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2-z=0,$

Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $\displaystyle z=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9},$

Пусть поверхность $ S$ задана уравнением $\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}=1$

Геометрические приложения определенного интеграла

Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.

Вычисление неберущихся интегралов

Неберущимся является интеграл $\displaystyle \int e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\Phi(x)+C.$

Не берётся интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{\ln x}=\mathop{\mathrm{li}}\nolimits (x)+C$

Ещё один неберущийся интеграл: $\displaystyle \int\frac{\cos x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Ci}}\nolimits (x)+C.$

 

Не берётся также интеграл $\displaystyle \int\frac{\sin x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Si}}\nolimits (x)+C.$

   Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл: $\displaystyle \int e^{-x^2}dx.$

Несобственные интегралы первого и второго рода

Свойства несобственных интегралов первого рода

Рассмотрим несобственный интеграл $\displaystyle I=\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{1+x^2}\;dx.$

Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{x^2+3x+2}{\sqrt{x^5-1}}dx.$

Вычислим значение интеграла $\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx.$

Покажем, что интеграл Эйлера - Пуассона $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$ сходится.

Рассмотрим теперь несобственный интеграл $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\;dx.$

Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.$

Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{x^2-x-5}{x^8+1}dx.$

Несобственные интегралы второго рода

Рассмотрим интеграл $\displaystyle Y(p)=\int_0^1\frac{dx}{x^p}.$

Найдём производную функции $\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt.$

Найдём производную функции $\displaystyle f(x;y;z)=xy^2z+3x^2yz^3$

Найдём производную функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2+2xy$

Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле

Формула замены переменного в определённом интеграле

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx,$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{dx}{x\ln x}.$

 Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{2x+3}{(x^2+2x+2)^3}dx.$

 

Формула интегрирования по частям

Найдём интеграл $ \int e^xx\,dx$ , применив формулу интегрирования по частям.
Найдём интеграл $\displaystyle \int xe^{-3x}dx$ при помощи интегрирования по частям.

Вычисление неопределенного интеграла

Вычисление неопределенного интеграла

$\displaystyle \int\frac{e^xdx}{\sqrt{1-e^{2x}}},$$\displaystyle \int\frac{x^3-1}{4x^3-x}dx.$$\displaystyle \int\frac{2x^4-4x^3+2x^2-4x-4}{x^5-x^4-x+1}dx.$
$\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx.$$\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-ax}dx,$$\displaystyle \int\frac{dx}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}.$
$\displaystyle I=\int\sqrt{1-x^2}\,dx.$$ \int e^{x^2}x\,dx$$\displaystyle \int\frac{1+x}{1+\sqrt{x}}dx.$


Найдём значение функции $\displaystyle F(x)=\int_1^x\ln t\;dt.$

Вычислим интеграл с переменным верхним пределом: $\displaystyle F(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt.$

Вычислим интеграл от интегральной экспоненты $ \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ .

 

Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1^2+3x_1x_2+2x_2^2-4x_1+3x_2$ , заданную на всей плоскости $ \mathbb{R}^2=x_1Ox_2$
Интеграл с переменным верхним пределом
Для нахождения значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$ найдём первообразную для подынтегральной функции $ f(x)=x^2$ , вычислив неопределённый интеграл:

Теорема о неявной функции

Рассмотрим уравнение $\displaystyle g(x;y)=x^2+y^2=0$

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{3x+5}{\sqrt{4x^2+4x+5}}dx.$

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

 Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}.$

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций
Матрица Гессе
 Найдём квадратичное приближение для функции $ f(x;y)=x^y$ в окрестности точки $ M(1;1)$ и вычислим приближённо значение выражения $ 0{,}98^{1{,}05}$ .
Пусть функция $ f(x)=x_1^3+x^3_2$ определена на всей плоскости $ \mathbb{R}^2$ с переменными $ (x_1;x_2)$ .
Функция $ f(x_1;x_2)=x_1+x_2$ определена на всей плоскости $ \mathbb{R}^2$ .
Связные множества
Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты
Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ x$ и $ \sqrt{ax^2+bx+c}$

Первообразная и производная

Частные производные

Рассмотрим функцию, заданную при $ x=(x_1;x_2)\in\mathbb{R}^2$ :

Пусть $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=x_1^3x_2^2x_3^4.$

Равенство смешанных частных производных

Если две производных $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$ и $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$

Вычислим частные производные функции двух переменных $\displaystyle f(x_1;x_2)=x_1^2+x_1x_2^3+3x_1-2x_2$

Частные производные высших порядков

Вычислим $ \frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_1^2\pat x_2}}$ для функции $ f$ из предыдущего примера.

Производная сложной функции

Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$

Рациональные функции и их интегрирование

Разделим с остатком $ {P(x)=x^3+5x^2-2x+1}$  -- многочлен третьей степени -- на бином $ {Q(x)=x-2}$  -- многочлен первой степени:

Разложим рациональную дробь $\displaystyle R(x)=\frac{5x^2+2x-1}{x^3+3x^2+2x+6}$

Разложим на множители многочлен третьей степени $ {Q(x)=x^3+3x^2+2x+6}$ .

Определение первообразной и её свойства

Рассмотрим функцию $ f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}$ на объединении двух интервалов $ \mathcal{D}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ .

Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$ на всей числовой оси $ \mathbb{R}$  -- на интервале $ (-\infty;+\infty)$ . Тогда функция $ F(x)=\frac{x^3}{3}$  -- это первообразная для $ f(x)$ на $ \mathbb{R}$ .

 

 

 

Решение задач по физике, электротехнике, математике