Сборник задач по ядерной физике Ядерная реакция Законы сохранения импульсная диаграмма Термоядерная реакция фотоэффект Эффект Комптона Закон Кирхгофа Волновая функция Уравнение Шрёдингера Длина волны Дебройля Волновые пакеты Туннельный эффект Оператор энергии Оператор импульса

Интегралы от произведений синусов и косинусов

 

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\cos^4x\sin^2x\,dx.$

 

Заменяем множители подынтегральной функции по формулам:

$\displaystyle \cos^4x=(\cos^2x)^2=\frac{1}{4}(1+\cos2x)^2=
 \frac{1}{4}(1+2\cos2x+\cos^22x)=$   
$\displaystyle =\frac{1}{4}(1+2\cos2x+\frac{1}{2}(1+\cos4x));
 \sin^2x=\frac{1}{2}(1-\cos2x)$   

и получаем:

$\displaystyle \int\cos^4x\sin^2x\,dx=
 \frac{1}{8}\int\bigl(1+2\cos2x+\frac{1}{2}(1+\cos4x)\bigr)(1-\cos2x)dx=$   
$\displaystyle =\frac{1}{8}\int\Bigl(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{2}\cos4x-
 2\cos^22x-\frac{1}{2}\cos2x\cos4x\Bigr)dx=$   
$\displaystyle =\frac{3}{16}x+\frac{1}{32}\sin2x+\frac{1}{64}\sin4x-
 \frac{1}{8}\int(1+\cos4x)dx-\frac{1}{32}\int(\cos6x+\cos2x)dx.$   

Мы применили вновь формулу понижения степени для $ \cos^22x$ , а также преобразовали произведение $ \cos2x\cos4x$ в сумму. Далее получаем:

$\displaystyle \int\cos^4x\sin^2x\,dx=$   
$\displaystyle =\frac{3}{16}x+\frac{1}{32}\sin2x+\frac{1}{64}\sin4x-
 \frac{1}{8}x-\frac{1}{32}\sin4x-\frac{1}{192}\sin6x-\frac{1}{64}\sin2x+C=$   
$\displaystyle =\frac{1}{16}x+\frac{1}{64}\sin2x-\frac{1}{64}\sin4x-
 \frac{1}{192}\sin6x+C.$   

Другой способ преобразований таков:

$\displaystyle \int\cos^4x\sin^2x\,dx=
 \frac{1}{8}\int(1+\cos2x)^2(1-\cos2x)dx=
 \frac{1}{8}\int(1-\cos^22x)(1+\cos2x)dx=$   
$\displaystyle =\frac{1}{8}\int\sin^22x(1+\cos2x)dx=
 \frac{1}{8}\int(\sin^22x+\sin^22x\cos2x)dx=$   
$\displaystyle =\frac{1}{16}\int(1-\cos4x)dx+\frac{1}{16}\int\sin^22x\,d(\sin2x)=
 \frac{1}{16}(x-\frac{1}{4}\sin4x)+\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{3}\sin^32x+C=$   
$\displaystyle =\frac{1}{16}x-\frac{1}{64}\sin4x+\frac{1}{48}\sin^32x+C.$   

Первообразные, стоящие в правых частях формул, тождественно равны друг другу, хотя это видно не сразу. Докажите это при помощи тригономегрических преобразований.     


Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике