Найдём интеграл $\displaystyle \int\frac{e^x+1}{e^{3x}-2e^{2x}+e^x}dx.$

 

Выполняя естественную замену $ u=e^x$ , получаем:

 

$\displaystyle \int\frac{e^x+1}{e^{3x}-2e^{2x}+e^x}dx=
\int\frac{u+1}{u^3-2u^2+u}\cdot\frac{du}{u}=
\int\frac{u+1}{u^2(u-1)^2}\,du.$

Подынтегральную дробь разложим в сумму простейших дробей. Разложение будет иметь вид

 

$\displaystyle \frac{u+1}{u^2(u-1)^2}=
\frac{A}{u^2}+\frac{B}{u}+\frac{C}{(u-1)^2}+\frac{D}{u-1}.$

Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем:

 

$\displaystyle u+1=A(u-1)^2+Bu(u-1)^2+Cu^2+Du^2(u-1).$

При "удобном" значении $ u=1$ получаем $ 2=C\cdot1^2$ , откуда

 

$\displaystyle C=2.$

При "удобном" значении $ u=0$ получаем $ 1=A\cdot(-1)^2$ , откуда

 

$\displaystyle A=1.$

Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях $ u$ : при $ u^3$ получаем:

 

$\displaystyle 0=B+D,$

а при $ u^2$  --

 

$\displaystyle 0=A-2B+C-D,$

или

$\displaystyle 2B+D=3.$

Решая получившуюся систему уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
B+D=0;\\
2B+D=3,
\end{array}
\right.
$

находим $ B=3$ , $ D=-3$ . Значит, искомое разложение имеет вид

$\displaystyle \frac{u+1}{u^2(u-1)^2}=
\frac{1}{u^2}+\frac{3}{u}+\frac{2}{(u-1)^2}-\frac{3}{u-1},$

и

$\displaystyle \int\frac{e^x+1}{e^{3x}-2e^{2x}+e^x}dx=
 \int\frac{u+1}{u^2(u-1)^...
...nt\frac{du}{u^2}+3\int\frac{du}{u}+2\int\frac{du}{(u-1)^2}-3\int\frac{du}{u-1}=$   
$\displaystyle =-\frac{1}{u}+3\ln\vert u\vert-\frac{2}{u-1}-3\ln\vert u-1\vert+C=
 -\frac{1}{e^x}+3\ln e^x-\frac{2}{e^x-1}-3\ln\vert e^x-1\vert+C=$   
$\displaystyle =-e^{-x}+3x-\frac{2}{e^x-1}-3\ln\vert e^x-1\vert+C.$   

    

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике