Пусть $ {\Omega}$  -- область в $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ (x_1;x_2)$ , заданная условием $ x_1\ne0$ . Эта область состоит из двух открытых полупространств $ \{x_1<0\}$ и $ \{x_1>0\}$ (и, тем самым, открыта). Покажем, что область $ {\Omega}$ не связна.

Если взять две точки $ x^0$ и $ x^1$ , такие что $ x^0_1<0$ и $ x^1_1>0$ , то обе они принадлежат $ {\Omega}$ , поскольку их первая координата отлична от 0. Предположим, что некоторый непрерывный путь $ {\gamma}(t)$ соединяет точку $ x^0$ с точкой $ x^1$ и $ {\gamma}(t)=({\gamma}_1(t);{\gamma}_2(t))$ .

Рис.7.6.



Поскольку $ {\gamma}_1(0)=x^0_1<0$ , $ {\gamma}_1(1)=x^1_1>0$ и функция $ {\gamma}_1(t)$ по предположению непрерывна при $ t\in[0;1]$ , то по теореме о корне найдётся такое значение $ t=t^*$ , что $ {\gamma}_1(t^*)=0$ . Но тогда точка $ {\gamma}(t^*)=(0;{\gamma}_2(t^*))$ не принадлежит области $ {\Omega}$ , поскольку её первая координата равна 0. Значит, любой непрерывный путь $ {\gamma}$ , соединяющий $ x^0$ с $ x^1$ , не может целиком лежать в $ {\Omega}$ . Это означает, что область $ {\Omega}$ не является связной.     

Если фиксировать некоторую точку $ x^0$ множества $ {\Omega}$ и рассмотреть все те точки $ x^1\in{\Omega}$ , в которые ведут непрерывные и целиком лежащие в $ {\Omega}$ пути, выходящие из $ x^0$ , то множество таких концевых точек $ x^1$ образует компоненту связности множества $ {\Omega}$ , содержащую точку $ x^0$ . Если эта компонента связности не охватывает всё множество $ {\Omega}$ , то можно рассмотреть какую-то точку $ x^{00}\in{\Omega}$ , не лежащую в этой компоненте, и, начиная с этой точки $ x^{00}$ , построить другую компоненту связности множества $ {\Omega}$ , не пересекающуюся с первой компонентой связности. Продолжая, если нужно, этот процесс далее, мы получаем разбиение множества $ {\Omega}$ на непересекающиеся компоненты связности.

Любое связное множество состоит из одной компоненты связности, а любое несвязное множество -- по меньшей мере из двух компонент связности.

 

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике