Покажем, что интеграл Эйлера - Пуассона $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$ сходится.

(Заметим сразу, что соответствующий неопределённый интеграл $ \int e^{-\frac{x^2}{2}}dx$  -- неберущийся, то есть не выражается через элементарные функции. Так что надежды вычислить этот интеграл "в лоб", применив формулу Ньютона - Лейбница, нет.)

Для сравнения выберем функцию $ g(x)=e^{-x}$ , неопределённый интеграл от которой легко считается:

 

$\displaystyle \int e^{-x}dx=-e^{-x}+C.$

Очевидно, что обе функции, $ f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$ и $ g(x)=e^{-x}$ , положительны. Покажем, что при достаточно больших $ x$ имеет место неравенство $ f(x)\leqslant g(x)$ . Поскольку $ e^z$  -- возрастающая функция переменного $ z$ , неравенство

 

$\displaystyle e^{-\frac{x^2}{2}}\leqslant e^{-x}$

эквивалентно неравенству между показателями степени:

 

$\displaystyle -\frac{x^2}{2}\leqslant -x,$

которое, как легко видеть, выполняется при всех $ x\geqslant 2$ . Значит, $ 0<f(x)\leqslant g(x)$ при $ x\geqslant 2$ . Однако интеграл от большей функции сходится:

 

$\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-x}dx=
\lim_{b\to+\infty}(-e^{-x})\Bigr\vert _0^b=
\lim_{b\to+\infty}(-e^{-b}+1)=1.$

Согласно замечанию 4.3 и теореме 4.2, отсюда следует сходимость интеграла
$\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx.$

    

Для многих примеров при доказательстве сходимости или расходимости интеграла естественно сравнивать подынтегральную функцию с функцией вида $ g(x)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^p}}$ . Определим, при каких значениях показателя $ p$ интеграл

 

$\displaystyle Z(p)=\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$

cходится.

Рассмотрим случай $ p>1$ . Тогда

 

$\displaystyle Z(p)=\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}=
\frac{1}{-p+1}x^{-p+1}\Bigl...
...
-\frac{1}{p-1}\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{p-1}}+\frac{1}{p-1}=\frac{1}{p-1},$

поскольку при $ p-1>0$

 

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{p-1}}=0.$

Значит, при $ p>1$ интеграл сходится и имеет значение $ Z(p)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{p-1}}.$

Рассмотрим случай $ p=1$ . Тогда

 

$\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x}=
\ln\vert x\vert\Bigl\vert _1^{+\infty}=
\lim_{x\to+\infty}\ln x-\ln1=+\infty,$

поскольку

 

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$

(то есть предела не существует) и $ \ln1=0$ . Значит, при $ p=1$ интеграл расходится.

Рассмотрим случай $ p<1$ . Тогда

$\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}=
\frac{1}{-p+1}x^{-p+1}\Bigl\vert _1^{+\infty}=
\frac{1}{1-p}\lim_{x\to+\infty}x^{1-p}-\frac{1}{1-p}=+\infty,$

поскольку при $ 1-p>0$

 

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^{1-p}=+\infty.$

Значит, при $ p<1$ интеграл расходится.

Итак, интеграл сходится (и функция $ Z(p)$ определена и равна $ \frac{1}{p-1}$ ) только при $ p>1$ ; при $ p\leqslant 1$ интеграл расходится.

  

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике