Вычислим интеграл с переменным верхним пределом: $\displaystyle F(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt.$

 

Применяя формулу Ньютона - Лейбница на отрезке между 1 и $ x$ , получаем:

 

$\displaystyle F(x)=\ln t\Bigr\vert _1^x=\ln x-\ln1=\ln x.$

Согласно геометрическому смыслу интеграла как площади криволинейной трапеции под графиком функции, получаем, что $ \ln x$  -- это площадь заштрихованной области под ветвью гиперболы $ y=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x}}$ (см. рис.):

Рис.3.6.