$\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt.$

 

Представим интеграл $ F(x)$ в виде

 

$\displaystyle F(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}dt-
\int_0^xe^{-t^2}dt=F_1(x)-F_2(x)$

(проверьте, что это так, воспользовавшись свойством аддитивности интеграла). Затем, по теореме о производной интеграла по верхнему пределу, получаем

 

$\displaystyle F_2'(x)=e^{-x^2}.$

При вычислении производной от $ F_1(x)$ , кроме теоремы о производной интеграла по верхнему пределу $ z=x^2$ , воспользуемся правилом нахождения производной композиции:

 

$\displaystyle F_1'(x)=(F_1)'_z\cdot z'_x=e^{-z^2}\cdot2x=2xe^{-x^4}.$

В итоге получаем:

 

$\displaystyle F'(x)=2xe^{-x^4}-e^{-x^2}.$