Вычислим интеграл $\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^2+4x+5}.$

 

Для этого выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:

 

$\displaystyle x^2+4x+5=(x^2+4x+4)+1=(x+2)^2+1.$

Затем сделаем замену $ z=x+2$ :

$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^2+4x+5}=
 \left\vert\begin{array}{l}
 z=x+1\\...
...
 x=0\Ra z=1\\ 
 x=1\Ra z=2
 \end{array}\right\vert=
 \int_1^2\frac{dz}{z^2+1}=$   
$\displaystyle \mathop{\rm arctg}\nolimits z\Bigr\vert _1^2=\mathop{\rm arctg}\n...
...ts 2-\mathop{\rm arctg}\nolimits 1=\mathop{\rm arctg}\nolimits 2-\frac{\pi}{4}.$   

Ответ: $ \int\limits_0^1\frac{\textstyle{dx}}{\textstyle{x^2+4x+5}}=\mathop{\rm arctg}\nolimits 2-\frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{4}}$ .