Вычислим интеграл $\displaystyle \int\sin^5x\sqrt[3]{\cos x}\,dx.$

Поскольку синус стоит в нечётной положительной степени, то следует отделить от этой степени один множитель и объединить со знаком дифференциала, после чего всё подынтегральное выражение можно будет выразить через $ \cos x$ :

$\displaystyle \int\sin^5x\sqrt[3]{\cos x}\,dx=
 \int\sin^4x\sqrt[3]{\cos x}(\sin x\,dx)=
 \int(1-\cos^2x)^2\sqrt[3]{\cos x}(-d(\cos x))=$   
$\displaystyle =-\int(1-z^2)^2\sqrt[3]{z}\,dz=
 -\int(1-2z^2+z^4)z^{\frac{1}{3}}\,dz=
 -\int(z^{\frac{1}{3}}-2z^{\frac{7}{3}}+z^{\frac{13}{3}})dz=$   
$\displaystyle =-\Bigl(\frac{3}{4}z^{\frac{4}{3}}-2\cdot\frac{3}{10}z^{\frac{10}...
...cdot\frac{3}{5}(\cos x)^{\frac{10}{3}}-
 \frac{3}{16}(\cos x)^{\frac{16}{3}}+C,$   

где была использована замена $ z=\cos x$ .