Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}.$

 

Выполняя замену $ t=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ , получаем:

$\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}=\left\vert\begin{array}{l}
 t=\mathop{\r...
...c{1}{1+t^2}}=\int\frac{dt}{3t^2+4}=
 \frac{1}{3}\int\frac{dt}{t^2+\frac{4}{3}}=$   
$\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{\sqrt{3}t}{...
...{3}}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{\sqrt{3}\mathop{\rm tg}\nolimits x}{2}+C.$   

Если в том же интеграле сделать универсальную замену, то получаем:

$\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}=
 \left\vert\begin{array}{l}
 t=\mathop{...
...\Bigr)^2}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^2}=
 \frac{1}{2}\int\frac{(1+t^2)dt}{t^4+t^2+1}.$   

Получили интеграл от рациональной функции переменного $ t$ . Однако вычисление этого интеграла представляется весьма трудоёмким, поскольку непонятно даже, как искать разложение знаменателя на множители. Так что первая замена оказалась много лучше второй.     

      

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике