Сборник задач по ядерной физике Ядерная реакция Законы сохранения импульсная диаграмма Термоядерная реакция фотоэффект Эффект Комптона Закон Кирхгофа Волновая функция Уравнение Шрёдингера Длина волны Дебройля Волновые пакеты Туннельный эффект Оператор энергии Оператор импульса

Интегралы от произведений синусов и косинусов

   
  Найдём интеграл $\displaystyle \int\cos^4x\,dx.$

Подынтегральную функцию можно преобразовать, понизив степень:

$\displaystyle \cos^4x=(\cos^2x)^2=\frac{1}{4}(1+\cos2x)^2=
 \frac{1}{4}(1+2\cos2x+\cos^22x)=$   
$\displaystyle =\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos2x+
 \frac{1}{8}(1+\cos4x)=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{8}\cos4x.$   

Поэтому

$\displaystyle \int\cos^4x\,dx=
 \frac{3}{8}\int\,dx+\frac{1}{2}\int\cos2x\,dx+
 \frac{1}{8}\int\cos4x\,dx=$   
$\displaystyle =\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}\sin2x+
 +\frac{1}{32}\sin4x+C.$   

    

В более сложных случаях преобразовывать подынтегральную функцию можно разными способами и, соответственно, по-разному сводить исходный интеграл к табличным. Следует помнить, однако, что формально различные первообразные на самом деле либо совпадают, либо различаются на постоянное слагаемое. Приведём пример, в котором разные преобразования приводят к несовпадающим ответам.

     


Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике