Вычислим интеграл $\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx.$

 

Возьмём $ u=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ , тогда $ dv=x\,dx$ ; формула интегрирования по частям даёт:

$\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx=
 \left\vert\begin{array}...
... \frac{x^2}{2}\mathop{\rm arctg}\nolimits x-\frac{1}{2}\int\frac{x^2dx}{1+x^2}.$   

Преобразуем интеграл в правой части так, чтобы привести его к табличным интегралам:

$\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx
 =\frac{x^2}{2}\mathop{\r...
...\mathop{\rm arctg}\nolimits x-\frac{1}{2}\int\Bigl(1-\frac{1}{1+x^2}\Bigr)\,dx=$   
$\displaystyle =\frac{x^2}{2}\mathop{\rm arctg}\nolimits x-\frac{1}{2}\Bigl(x-\m...
...ts x\Bigr)+C
 =\frac{1}{2}\Bigl((x^2+1)\mathop{\rm arctg}\nolimits x-x\Bigr)+C.$   

Ответ: $ \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx=\frac{1}{2}\Bigl((x^2+1)\mathop{\rm arctg}\nolimits x-x\Bigr)+C.$     

      

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике