Найдём производные по $ x$ и $ y$ функции $ z={\varphi}(x;y)$ , неявно заданной в окрестности точки $ (2;-1;2)$ уравнением $\displaystyle x^2y+y^4z^2+xz^3=16.$

 

Найдём частные производные функции $ f(x;y;z)=x^2y+y^4z^2+xz^3-16:$

 

$\displaystyle f'_x=2xy+z^3;\ f'_y=x^2+4y^3z^2;\ f'_z=2y^4z+3xz^2.$

Заметим, что $ f'_z(2;-1;2)=28\ne0$ , так что рассматриваемое уравнение действительно задаёт некоторую функцию $ z={\varphi}(x;y)$ . Поскольку

 

$\displaystyle f'_x(2;-1;2)=4;\ f'_y(2;-1;2)=-12;\ f'_z(2;-1;2)=28,$

то

 

$\displaystyle {\varphi}'_x(2;-1)=-\frac{f'_x(2;-1;2)}{f'_z(2;-1;2)}=-\frac{4}{2...
...arphi}'_y(2;-1)=-\frac{f'_y(2;-1;2)}{f'_z(2;-1;2)}=-\frac{-12}{28}=\frac{3}{7}.$