Вычислим интеграл $\displaystyle I=\int\sqrt{1-x^2}\,dx.$

Для этого, проинтегрировав по частям, преобразуем интеграл в правой части, так чтобы выделился исходный интеграл $ I$ . Полученное равенство рассмотрим как уравнение относительно $ I$ , откуда и получим ответ. Итак,

$\displaystyle I=\int\sqrt{1-x^2}\,dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
 u=\sqrt{1-x^...
...\ 
 v=x
 \end{array}\right\vert=
 x\sqrt{1-x^2}+\int\frac{x^2dx}{\sqrt{1-x^2}}=$   
$\displaystyle =x\sqrt{1-x^2}-\int\frac{(1-x^2)-1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=
 x\sqrt{1-x^2}-\int\sqrt{1-x^2}\,dx+\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=$   
$\displaystyle =x\sqrt{1-x^2}-I+\arcsin x+C.$   

Перенося $ I$ в левую часть и деля на 2, получаем: $\displaystyle I=\frac{1}{2}\Bigl(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\Bigr)+C.$

 

Ответ: $ I=\int\sqrt{1-x^2}\,dx=
\frac{1}{2}\Bigl(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\Bigr)+C.$     

   

 

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике