Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.$

Наводящие соображения насчёт того, с какой функцией сравнивать подынтегральную функцию
$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^3+1}},$

таковы: при больших значениях $ x$ ведущую роль в знаменателе играет $ x^3$ , поскольку $ 1\ll x$ при больших $ x$ ; значит, если откинуть 1, получим функцию
$\displaystyle g(x)=\frac{1}{\sqrt{x^3}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}.$

Поскольку её показатель $ p=\frac{3}{2}$ больше 1, то интеграл
$\displaystyle Z(\frac{3}{2})=
\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^{\frac{3}{2}}}=
\int_1^{+\infty}g(x)\;dx$

сходится. В то же время имеет место неравенство
$\displaystyle 0<f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}<\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}=g(x),$

поскольку, очевидно,
$\displaystyle \sqrt{x^3+1}>\sqrt{x^3}=x^{\frac{3}{2}}.$

Итак, интеграл от большей функции $ g(x)$ сходится, откуда следует сходимость исходного интеграла $ \int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.$     

 

 

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике