Найдём площадь $ S$ фигуры, расположенной под графиком функции -->$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ над промежутком $ [0;1)$ .

(Заметим, что функция $ f(x)$ не определена при $ \vert x\vert\geqslant 1$ и стремится к $ +\infty$ при $ x\to1-$ , так что указанная фигура -- неограниченная и площадь задаётся несобственным интегралом второго рода (см. рис.):

$\displaystyle S=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$

Рис.4.8.



Возьмём -->$ b_1\in[0;1)$ и вычислим обычный (собственный) определённый интеграл

$\displaystyle \Phi(b_1)=\int_0^{b_1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$

Имеем по теореме Ньютона - Лейбница:

$\displaystyle \Phi(b_1)=\int_0^{b_1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=
\arcsin x\Bigr\vert _0^{b_1}=\arcsin b_1-\arcsin 0=\arcsin b_1.$

Далее вычисляем предел:

$\displaystyle \lim_{b_1\to1-}\Phi(b_1)=
\lim_{b_1\to1-}\arcsin b_1=\frac{\pi}{2}.$

Поскольку оказалось, что предел существует, то несобственный интеграл сходится, а искомая площадь равна его значению:

$\displaystyle S=\frac{\pi}{2}.$

      

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике