Сборник задач по ядерной физике Ядерная реакция Законы сохранения импульсная диаграмма Термоядерная реакция фотоэффект Эффект Комптона Закон Кирхгофа Волновая функция Уравнение Шрёдингера Длина волны Дебройля Волновые пакеты Туннельный эффект Оператор энергии Оператор импульса

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

 

Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{3x+5}{\sqrt{4x^2+4x+5}}dx.$

 

В подкоренном выражении выделим полный квадрат:

 

$\displaystyle 4x^2+4x+5=4\Bigl(x^2+2x\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\Bigr)+
\Bigl...
...r)=
4\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2+4=4\Bigl(\bigl(x+\frac{1}{2}\bigr)^2+1\Bigr).$

Делаем замену $ z=x+\frac{1}{2}$ :

$\displaystyle \int\frac{3x+5}{\sqrt{4x^2+4x+5}}dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
...
...d{array}\right\vert=
 \frac{1}{2}\int\frac{3(z-\frac{1}{2})+5}{\sqrt{z^2+1}}dz=$   
$\displaystyle =\frac{3}{2}\int\frac{z\,dz}{\sqrt{z^2+1}}+
 \frac{7}{4}\int\frac{dz}{\sqrt{z^2+1}}.$(2.1)

В первом из двух интегралов сделаем ещё одну замену, $ u=z^2+1$ :

 

$\displaystyle \int\frac{z\,dz}{\sqrt{z^2+1}}=
\left\vert\begin{array}{l}
u=z^...
...ac{1}{2}\cdot\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=\sqrt{u}+C=
\sqrt{z^2+1}+C.$

Второй интеграл -- табличный:

 

$\displaystyle \int\frac{dz}{\sqrt{z^2+1}}=
\ln\vert z+\sqrt{z^2+1}\vert+C.$

Продолжая равенство (2.1) и возвращаясь к исходной переменной $ x$ , получаем:

\begin{multline*}
\int\frac{3x+5}{\sqrt{4x^2+4x+5}}dx=
\frac{3}{2}\sqrt{z^2+1}...
...igl\vert x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{4x^2+4x+5}\Bigr\vert+C.
\end{multline*}

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике