Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{x^2+3x+2}{\sqrt{x^5-1}}dx.$

При больших $ x$ в числителе ведущую роль играет $ x^2$ , поскольку $ x^4\gg3x$ и $ x^2\gg2$ , а в знаменателе ведущая роль принадлежит $ x^5$ , поскольку $ x^5\gg1$ . Поэтому при больших $ x$ подынтегральная функция

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+3x+2}{\sqrt{x^5-1}}$

принимает почти такие же значения, что и функция
$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^5}}=\frac{1}{\sqrt{x}}.$

Интеграл от $ g(x)$ расходится, поскольку показатель $ p=\frac{1}{2}$ меньше 1. (Для интеграла по промежутку $ [1;+\infty)$ мы это проверяли выше, а расходимость интеграла по промежутку
$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+3x+2}{\sqrt{x^5-1}}>g(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^5}}=\frac{1}{\sqrt{x}}.$

Действительно, у дроби в левой части числитель больше, а знаменатель меньше, чем у первой дроби в правой части.

Итак, условия теоремы 4.2 проверены. На основании этой теоремы (точнее, её второго утверждения) мы можем заключить, что данный нам интеграл $ \int_2^{+\infty}\frac{\textstyle{x^2+3x+2}}{\textstyle{\sqrt{x^5-1}}}dx$ расходится.     

Докажем ещё одно важное свойство несобственного интеграла первого рода.

      

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике