Найдём интеграл $\displaystyle \int\frac{1+x}{1+\sqrt{x}}dx.$

Подынтегральная функция является рациональной относительно $ x$ и $ \sqrt{x}$ , значит, для вычисления интеграла нужно сделать замену $ z=\sqrt{x}$ : Функции двух переменных В естествознании встречаются ситуации, когда одна величина является функцией нескольких других:

$\displaystyle \int\frac{1+x}{1+\sqrt{x}}dx=
 \left\vert\begin{array}{l}
 z=\sqr...
...rray}\right\vert=
 \int\frac{1+z^2}{1+z}\cdot2z\,dz=
 2\int\frac{z^3+z}{z+1}dz.$   

Разделим числитель на знаменатель столбиком:

 

\begin{displaymath}
\arraycolsep=0.05em
\begin{array}{rrrr@{\,}r\vert l}
z^3&...
...{2-3}
&&2z\\
&&2z&{}+2\\
\cline{3-4}
&&&-2
\end{array}
\end{displaymath}

Получили целую часть $ z^2-z+2$ и остаток $ -2$ . Значит,
$\displaystyle \frac{z^3+z}{z+1}=
z^2-z+2-\frac{2}{z+1}.$

Подставляя это выражение под знак интеграла, получаем:

 

$\displaystyle 2\int\frac{z^3+z}{z+1}dz=
2\int\bigl(z^2-z+2-\frac{2}{z+1}\bigr)dz=
\frac{2z^3}{3}-z^2+4z-4\ln\vert z+1\vert+C.$

Осталось вернуться к исходной переменной $ x$ : поскольку $ z=\sqrt{x}$ , получаем:

 

$\displaystyle \int\frac{\textstyle{1+x}}{\textstyle{1+\sqrt{x}}}dx=
\frac{2x\sqrt{x}}{3}-x+4\sqrt{x}-4\ln(\sqrt{x}+1)+C.$