Вычислим значение интеграла $\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx.$

Согласно определению, нам нужно вычислить значение функции $\displaystyle \Phi(b)=\int\limits_0^b\frac{1}{x^2+1}\;dx,$

а потом вычислить предел
$\displaystyle I=\lim_{b\to+\infty}\Phi(b).$

Итак,

 

$\displaystyle \Phi(b)=\int\limits_0^b\frac{1}{x^2+1}\;dx=
\mathop{\rm arctg}\nolimits x\Bigl\vert _0^b=\mathop{\rm arctg}\nolimits b$

(напомним, что $ \mathop{\rm arctg}\nolimits 0=0$ ) и
$\displaystyle I=\lim_{b\to+\infty}\mathop{\rm arctg}\nolimits b=\frac{\pi}{2}.$

Получили, что интеграл сходится и его значение таково: Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба Пусть f(x) – функция, дифференцируемая на интервале (a, b). Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции y = f(x).
$\displaystyle \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx=\frac{\pi}{2}.$

Заметим, что тем самым мы вычислили площадь бесконечно длинной области под графиком $ y=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^2+1}}$ , лежащей над положительной полуосью (см. рис.).

Рис.4.3.



Поскольку рассматриваемая функция>$ f(x)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^2+1}}$  -- чётная, то её график симметричен относительно оси $ Oy$ , так что площадь под графиком левее оси $ Oy$  -- точно такая же, как и площадь правее оси $ Oy$ , то есть тоже равна $ \frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{2}}$ , а площадь под всем графиком (над всей осью $ Ox$ ) естественно считать равной >$ \frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{2}}+\frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{2}}=\pi.$     

  

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике