Пусть поверхность $ S$ задана уравнением $\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}=1$

 

в трёхмерном пространстве с координатами $ x,y,z$ (это эллипсоид с центром в начале координат и полуосями $ a=1$ , $ b=2$ , $ c=4$ ). Возьмём на эллипсоиде точку $ \bigl(\frac{1}{2};1;2\sqrt{2}\bigr)$ (проверьте, что она лежит на эллипсоиде!) и найдём уравнение касательной плоскости в этой точке. Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов

Поскольку для функции

 

$\displaystyle f(x;y;z)=x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}$

поверхность $ S$ служит поверхностью уровня $ C=1$ , то можно применить формулу (8.2). Частные производные равны:

 

$\displaystyle f'_x=2x;\ f'_y=\frac{y}{2};\ f'_z=\frac{z}{8}.$

Поэтому

 

$\displaystyle \mathop{\rm grad}\nolimits f=\bigl(2x;\frac{y}{2};\frac{z}{8}\bigr)$

и

 

$\displaystyle (\mathop{\rm grad}\nolimits f)\bigl(\frac{1}{2};1;2\sqrt{2}\bigr)=
\bigl(1;\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{4}\bigr).$

Теперь выписываем уравнение касательной плоскости:

 

$\displaystyle 1\cdot\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)+\frac{1}{2}(y-1)+\frac{\sqrt{2}}{4}(z-2\sqrt{2})=0,$

или

 

$\displaystyle x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{2}}{4}z-2=0.$

   

    
   

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике