Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ x$ и $ \sqrt{ax^2+bx+c}$

 
Найдём интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}.$

 

Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:

 

$\displaystyle x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1)^2+1.$

Далее сделаем в интеграле замену $ z=x+1=tg t$ : Основные методы интегрирования. Способ подстановки (замены переменных).

$\displaystyle \int\frac{dx}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}=
 \left\vert\begin{array}{l}
 x+...
...\sqrt{\mathop{\rm tg}\nolimits ^2t+1}=\frac{1}{\cos t}
 \end{array}\right\vert=$   
$\displaystyle =\int\frac{dt}{\cos^2t\Bigl(1+\frac{1}{\cos t}\Bigr)}=
 \int\frac{dt}{\cos^2t+\cos t}.$   

Теперь сделаем универсальную замену $ u=\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{t}{2}$ :

$\displaystyle \int\frac{dt}{\cos^2t+\cos t}=
 \left\vert\begin{array}{l}
 u=\ma...
... 
 dt=\frac{2du}{1+u^2}\\ 
 \cos t=\frac{1-u^2}{1+u^2}
 \end{array}\right\vert=$   
$\displaystyle =\int\frac{\frac{2du}{1+u^2}}{\bigl(\frac{1-u^2}{1+u^2}\bigr)^2+\...
...^2}}=
 2\int\frac{1+u^2}{(1-u^2)^2+(1-u^2)(1+u^2)}du=\int\frac{1+u^2}{1-u^2}du=$   
$\displaystyle =-\int\Bigl(1+\frac{2}{u^2-1}\Bigr)du=
 -u-\ln\Bigl\vert\frac{u-1...
...g}\nolimits \frac{t}{2}-1}{\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{t}{2}+1}\Bigr\vert+C=$   
$\displaystyle =-\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{\mathop{\rm arctg}\nolimits (x+1...
...op{\rm tg}\nolimits \frac{\mathop{\rm arctg}\nolimits (x+1)}{2}+1}\Bigr\vert+C.$   

    

      

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике