Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{x^2-x-5}{x^8+1}dx.$

 

При больших значениях $ x$ (которые, вследствие замечания 4.3, только и имеют значение для сходимости интеграла) дробь $ f(x)=\frac{\textstyle{x^2-x-5}}{\textstyle{x^8+1}}dx$ имеет почти такие же значения, как дробь $ g(x)=\frac{1}{x^6}$ . Действительно, поделив числитель и знаменатель дроби $ f(x)$ на $ x^2$ , получим
$\displaystyle f(x)=\frac{1-\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}}{x^6+\frac{1}{x^2}}.$

Дроби $ \frac{1}{x},\ \frac{5}{x^2}$ и $ \frac{1}{x^2}$ при больших $ x$ принимают пренебрежимо малые значения, так что ведущую роль будет играть функция $ g(x)$ , получающаяся при отбрасывании этих малых слагаемых в числителе и знаменателе. Неопределенный интеграл. Табличное интегрирование. Решение задач по высшей математике Примеры

Интеграл от функции $ g(x)$ сходится: поскольку $ p=6>1$ , то получаем сходящийся интеграл

$\displaystyle Z(6)=\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^6}.$

Теперь аккуратно проверим выполнение условий теоремы 4.2. При достаточно больших $ x$ (больших большего корня $ x_0=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$ уравнения $ x^2-x-5=0$ ) обе функции, $ f(x)$ и $ g(x)$ , принимают положительные значения и

 

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-5}{x^8+1}>\frac{x^2}{x^8+1}>\frac{x^2}{x^8}=\frac{1}{x^6}=g(x).$

Поэтому из сходимости интеграла от $ g(x)$ , которую мы уже проверили, следует сходимость интеграла от $ f(x)$ по промежутку $ [x_0;+\infty)$ .

На основании теоремы 4.1 сходится и исходный интеграл.     

  

 

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике