Найдём уравнения касательной плоскости и нормали, проведённых к поверхности уровня функции $ f(x;y;z)=x^2+y^2+4z^2$ , проходящей через точку $ M_0(-2;1;-1)$ .

Найдём уравнение поверхности уровня: поскольку $ f(M_0)=4+1+4=9,$ поверхность уровня задаётся уравнением

 

$\displaystyle x^2+y^2+4z^2=9,$ или $\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{\frac{9}{4}}=1.$

Это уравнение задаёт эллипсоид вращения (вокруг оси $ Oz$ ) с центром в точке $ O(0;0;0)$ и полуосями $ a=3$ , $ b=3$ и $ c=\frac{\textstyle{3}}{\textstyle{2}}$ .

Найдём значения частных производных функции $ f$ в точке $ M_0$ : Интегрирование тригонометрических выражений Решение задач по высшей математике ПримерыРешение задач по высшей математике Примеры

 

$\displaystyle f'_x(M_0)=2x\Bigr\vert _{M_0}=-4;\
f'_y(M_0)=2y\Bigr\vert _{M_0}=2;\
f'_z(M_0)=8z\Bigr\vert _{M_0}=-8.$

Записываем уравнение касательной плоскости в виде

 

$\displaystyle f'_x(M_0)(x-x_0)+
f'_y(M_0)(y-y_0)+
f'_z(M_0)(z-z_0)=0,$

то есть

 

$\displaystyle -4(x+2)+2(y-1)-8(z+1)=0,$ или $\displaystyle 2x-y+4z+9=0.$

Уравнения нормальной прямой записываем в виде

 

$\displaystyle \frac{x-x_0}{f'_x(M_0)}=
\frac{y-y_0}{f'_y(M_0)}=
\frac{z-z_0}{f'_z(M_0)},$

то есть

 

$\displaystyle \frac{x+2}{-4}=
\frac{y-1}{2}=
\frac{z+1}{-1}.$

 

   

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике