Найдём квадратичное приближение для функции $ f(x;y)=x^y$ в окрестности точки $ M(1;1)$ и вычислим приближённо значение выражения $ 0{,}98^{1{,}05}$ .

Имеем:

$\displaystyle f(1;1)=1^1=1;$   
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1;1)=yx^{y-1}
 \Bigl\vert _{x=1;y=1...
...
 \frac{\partial f}{\partial y}(1;1)=
 x^y\ln x\Bigl\vert _{x=1;y=1}=1^1\ln1=0;$   
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x^2}(1;1)=
 y(y-1)x^{y-2}\Bigl\vert _{x=1;y=1}=1\cdot0\cdot1^{-1}=0;$   
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x\pat y}(1;1)=
 \Bigl(yx^{y-1}\ln x+x^y\cdot\frac{1}{x}\Bigr)\Bigl\vert _{x=1;y=1}=1\cdot1^0\ln1+
 1^0=1;$   
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat y^2}(1;1)=
 x^y\ln^2x\Bigl\vert _{x=1;y=1}=1^1(\ln1)^2=0.$   
Вычисление определенного интеграла Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

Поэтому искомое приближение будет иметь вид

$\displaystyle f(x;y)=x^y\approx1+1(x-1)+0(y-1)+$   
$\displaystyle +\frac{1}{2}(0(x-1)^2+2\cdot1(x-1)(y-1)+0(y-1)^2)=
 1+(x-1)+(x-1)(y-1).$   

Подставляя сюда $ x=0{,}98=1+(-0{,}02)$ и $ y=1{,}05=1+0{,}05$ , получаем:

 

$\displaystyle 0{,}98^{1{,}05}\approx1+(-0{,}02)+(-0{,}02)\cdot0{,}05=0{,}979.$

Ответ: $ f(x;y)=x^y\approx1+(x-1)+(x-1)(y-1);$ $ 0{,}98^{1{,}05}\approx0{,}979.$     

С помощью формулы Тейлора можно получать разложение многочленов от переменных $ x_1;\dots;x_n$ по степеням биномов $ (x_1-x_1^0),\ \dots,\ (x_n-x_n^0)$ .

     

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике