Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{x^3-1}{4x^3-x}dx.$

Дробь $ \frac{\textstyle{x^3-1}}{\textstyle{4x^3-x}}$  -- неправильная, поскольку степень числителя равна степени знаменателя. Поэтому нужно выделить целую часть. Это в данном примере проще сделать без деления столбиком:

$\displaystyle \frac{x^3-1}{4x^3-x}=
 \frac{1}{4}\frac{x^3-1}{x^3-\frac{1}{4}x}=...
...frac{1}{16}x-\frac{1}{4}}{x\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)\bigl(x+\frac{1}{2}\bigr)}.$   

При последнем преобразовании мы еще и разложили знаменатель на множители. Теперь разложим получившуюся правильную дробь в сумму простейших дробей. Это разложение будет иметь вид

 

$\displaystyle \frac{\frac{1}{16}x-\frac{1}{4}}{x\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)\bigl(...
...rac{1}{2}\bigr)}=
\frac{A}{x}+\frac{B}{x-\frac{1}{2}}+\frac{C}{x+\frac{1}{2}}.$

Для нахождения $ A,\ B$ и $ C$ приведём сумму в правой части к общему знаменателю и приравняем числители: Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание функций. Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0. 2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

 

$\displaystyle \frac{1}{16}x-\frac{1}{4}=
A\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)\bigl(x+\frac{1}{2}\bigr)+
Bx\bigl(x+\frac{1}{2}\bigr)+
Cx\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr).$

Подставляя $ x=0$ , получаем:
$\displaystyle -\frac{1}{4}=A\cdot\bigl(-\frac{1}{2}\bigr)\cdot\frac{1}{2},$

откуда $ A=1$ . Подставляя $x=\frac{1}{2}$ -->$ x=\frac{1}{2}$ , получаем:
$\displaystyle \frac{1}{32}-\frac{1}{4}=B\cdot\frac{1}{2}\cdot1,$

откуда $ B=-\frac{7}{16}$ . Наконец, подставляя $ x=-\frac{1}{2}$ , получаем:
$\displaystyle -\frac{1}{32}-\frac{1}{4}=C\cdot\Bigl(-\frac{1}{2}\Bigr)\cdot(-1),$

откуда $ C=-\frac{9}{16}.$ Итак, получаем, что

 

$\displaystyle \frac{\frac{1}{16}x-\frac{1}{4}}{x\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)\bigl(...
...ac{7}{16}\cdot\frac{1}{x-\frac{1}{2}}-\frac{9}{16}\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{2}}.$

Теперь можно вычислить интеграл:
$\displaystyle {\int}\frac{x^3-1}{4x^3-x}dx=
{\int}\Bigl(\frac{1}{4}+
\frac{1}...
...}\frac{1}{2}\bigr\vert
-\frac{9}{16}\ln\bigl\vert x{+}\frac{1}{2}\bigr\vert+C.$

Ответ:$ \int\frac{\textstyle{x^3-1}}{\textstyle{4x^3-x}}dx=
\frac{1}{4}x+\ln\vert x\v...
... x-\frac{1}{2}\bigr\vert
-\frac{9}{16}\ln\bigl\vert x+\frac{1}{2}\bigr\vert+C.$