Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{2x+3}{(x^2+2x+2)^3}dx.$

 

Сделав замену $ z=x+1$ , получаем:

 

$\displaystyle \int\frac{2x+3}{(x^2+2x+2)^3}dx=
\int\frac{2(x+1)+1}{\bigl((x+1)^2+1\bigr)^3}dx=
\int\frac{2z\,dz}{(z^2+1)^3}+
\int\frac{dz}{(z^2+1)^3}.$

В первом из двух слагаемых сделаем замену $ s=z^2+1$ и получим: Первообразная и неопределённый интеграл. Математика примеры решения задач

 

$\displaystyle \int\frac{2z\,dz}{(z^2+1)^3}=-\frac{1}{2(z^2+1)^2}+C.$

Во втором слагаемом применим описанный выше метод понижения степени:

$\displaystyle I_3=\int\frac{dz}{(z^2+1)^3}=
 \int\frac{(z^2+1)-z^2}{(z^2+1)^3}dz=
 \int\frac{dz}{(z^2+1)^2}-
 \int\frac{z^2}{(z^2+1)^3}dz=$   
$\displaystyle =I_2-\int z\cdot\frac{z\,dz}{(z^2+1)^3}=
 I_2+\frac{z}{4(z^2+1)^2}-\frac{1}{4}\int\frac{dz}{(z^2+1)^2}=
 \frac{3}{4}I_2+\frac{z}{4(z^2+1)^2}.$   

Для вычисления $ I_2$ ещё раз применим тот же самый приём:

$\displaystyle I_2=\int\frac{dz}{(z^2+1)^2}=
 \int\frac{(z^2+1)-z^2}{(z^2+1)^2}dz=
 \int\frac{dz}{z^2+1}-
 \int\frac{z^2}{(z^2+1)^2}dz=$   
$\displaystyle =I_1-\int z\cdot\frac{z\,dz}{(z^2+1)^2}=
 I_2+\frac{z}{2(z^2+1)}-\frac{1}{2}\int\frac{dz}{z^2+1}=
 \frac{1}{2}I_1+\frac{z}{2(z^2+1)}.$   

Поскольку

 

$\displaystyle I_1=\int\frac{dz}{z^2+1}=\mathop{\rm arctg}\nolimits z+C,$

имеем

 

$\displaystyle I_3=\frac{3}{4}\Bigl(\frac{1}{2}\mathop{\rm arctg}\nolimits z+\fr...
...3}{8}\mathop{\rm arctg}\nolimits z+\frac{3z}{8(z^2+1)}+\frac{z}{4(z^2+1)^2}+C
$

и

$\displaystyle \int\frac{2x+3}{(x^2+2x+2)^3}dx=
 -\frac{1}{2(z^2+1)^2}+
 \frac{3}{8}\mathop{\rm arctg}\nolimits z+\frac{3z}{8(z^2+1)}+\frac{z}{4(z^2+1)^2}+C=$   
$\displaystyle =\frac{3}{8}\mathop{\rm arctg}\nolimits z+\frac{3z}{8(z^2+1)}+\frac{z-2}{4(z^2+1)^2}+C=$   
$\displaystyle =\frac{3}{8}\mathop{\rm arctg}\nolimits (x+1)+\frac{3x+3}{8(x^2+2x+2)}+\frac{x-1}{4(x^2+2x+2)^2}+C.$   

    

Приведём теперь пример на интегрирование правильной рациональной дроби общего вида:

      

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Решение задач по физике, электротехнике, математике