Основные задачи на прямую и плоскость

Электрические цепи переменного тока Явление резонанса векторная диаграмма Электpостатика Закон Кулона Потенциал Диэлектpики Пpоводники Теоpема Гаусса Электpическая емкость Физика атомного ядра Электромагнетизм Волновая оптика Математика Задачи Векторная алгебра Производная

 

Уравнение плоскости

Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку $ M_0(1,2,-2)$ и параллельной векторам $ {\bf p}=(1;2;-1)$ и $ {\bf q}=(-2;0;3)$ Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку $ M_0(1,2,-2)$ и параллельной векторам $ {\bf p}=(1;2;-1)$ и $ {\bf q}=(-2;0;3)$

Замена переменного и преобразование базы при такой замене
Пусть производится замена $ t=x^2$ и $ x\to0$ Пусть производится замена $ t={\varphi}(x)=3x-2$, где $ x\to2$ Пусть производится замена $ t={\varphi}(x)=x^2$ при базе $ x\to1$
Пусть производится замена $ t=x^2$ и $ x\to0$ Пусть производится замена $ t={\varphi}(x)=3x-2$, где $ x\to2$ Пусть производится замена $ t={\varphi}(x)=x^2$ при базе $ x\to1$

Прямая в пространстве

Требуется найти какую-нибудь точку $ M$ на прямой
Основные задачи на прямую и плоскость

Прямая задана уравнениями $\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 2x-3y+4z+1=0,\\ x+2y-2z+2=0.\end{array}\right.$

Найдите точку пересечения прямой $ \frac{x-2}2=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}3$ и плоскости $ {x+y+2z-1=0}$

Найдите точку $ M_1$ , симметричную точке $ M(1;-2;1)$ относительно прямой $ {\gamma}$ : .

Окружность
Нарисуйте кривую $ {x^2+y^2-2x+6y+6=0}$
Парабола
Постройте параболу $ y^2=3x$ . Найдите ее фокус и директрису.
Сфера
Нарисуйте сферу $\displaystyle x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z+2=0.$
Линейные пространства и преобразования
Постройте параболу $\displaystyle y=\frac{6x-x^2-13}2,$ найдите ее фокус и директрису.
Параллельный перенос системы координат
Нарисуйте кривую $ {x^2+9y^2-4x+18y+4=0}$ и найдите ее фокусы. Постройте кривую $\displaystyle x+1+\sqrt{2-2y^2+4y}=0.$ Нарисуйте поверхность $ 4x^2-y^2+z^2+8x-4y-2z=3$ .

Правило Крамера

Решите систему уравнений $ \left\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+x_3=1,\\ 3x_1+x_2+5x_3=-3,
\\ 5x_1+3x_3=2.\end{array}\right.$

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Найдите общее решение системы уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2x_2+x_3-2x_4+4x_5+x_6=2,\\ 8x_2+4x_3-8x_4+13x_5+2x_6=14,\\
6x_2+3x_3-6x_4+6x_5-x_6=18,\end{array}\right.$

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+2x_3-x_4=3,\\ 2x_1-x_2+3x_3+4x_4=-1,\\
4x_1+x_2+7x_3+2x_4=6,\\ 5x_1-x_2+3x_3+2x_4=-3.\end{array}\right.$

Решите систему $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+3x_3-x_4=1,\\
3x_1+2x_2-x_3+x_4=2,\\ 2x_1+x_2+2x_3-3x_4=1,\\ 4x_1-2x_2-x_3-3x_4=2.\end{array}\right.$

Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений: $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3+2x_4-x_5=0,\\ 2x_1-x_2-x_3-x_4...
...
-5x_1+7x_2+x_3+10x_4-11x_5=0,\\ -x_1+5x_2-x_3+8x_4-7x_5=0.\end{array}\right.$

Группы

Пусть $ \mathfrak{G}$  -- множество целых чисел. В качестве операции $ \propto$ возьмем операцию сложения чисел.

Пусть $ \mathfrak{G}$  -- множество положительных вещественных чисел. В качестве операции "$ \propto$ " возьмем операцию обычного умножения.

Множество $ \mathfrak{G}$ из примера 16.1 с операцией "$ \propto$ " является группой

Кольца

Пусть $ \mathcal{K}$ -- множество, содержащее $ n$ элементов. Чтобы не вводить дополнительные обозначения, будем считать, что эти элементы являются числами 0, 1, 2,..., $ n-1$ .

Евклидово пространство

Пусть $ a,\,b\in\mathbb{R}^4$ , их координатные столбцы $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{r}1\\ 2\\ -1\\ -2
\end{array}\right)}$ , $ {{\beta}=\left(\begin{array}{r}2\\ -2\\ -4\\ 1\end{array}\right)}$ .

Вершины кривых

Рассмотрим окружность $ x^2+y^2=R^2$.

Рассмотрим гиперболу $ y=\dfrac{a}{x}$ ($ a>0$).

Радиус кривизны параболы $ y=x^2$ в её вершине равен $ r=\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{2}$.

Аффинное n-мерное пространство

Пусть $ {A=(1,\,2,\,-1,\,3)}$ , $ {B=(2,\,0,\,-3,\,4)}$  -- точки четырехмерного пространства.

Отделение корней

Рассмотрим уравнение

$ x^3-4x+2=0$.

$ x^3+2x^2+3x+5=0$

Для функции $ f(x)=x^3-4x+2$ найдём интервалы монотонности.

Метод половинного деления

Снова рассмотрим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$.

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

Приведите уравнение поверхности $\displaystyle x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz-2x+6y+2z=0$

Метод одной касательной

Решим методом одной касательной уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$.

Метод Ньютона (метод касательных)

Решим методом Ньютона всё то же уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$,

Метод хорд (метод линейной интерполяции)

Решим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$ методом хорд

Проверим, что метод работает и в том случае, если $ x_0$ и $ x_1$ взяты по одну и ту же сторону от корня

Вершины кривых

Рассмотрим прямую $ y=kx+b$.

Решение задач по физике, электротехнике, математике