Сборник задач по ядерной физике Ядерная реакция Законы сохранения импульсная диаграмма Термоядерная реакция фотоэффект Эффект Комптона Закон Кирхгофа Волновая функция Уравнение Шрёдингера Длина волны Дебройля Волновые пакеты Туннельный эффект Оператор энергии Оператор импульса

Правило Лопиталя


Пример   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sin^2x}$.

Этот предел представляет собой предел отношения двух бесконечно малых, поскольку $ \lim\limits_{x\to0}(e^x-1-x)=e^0-1-0=0$ и $ \lim\limits_{x\to0}\sin^2x=\sin^20=0$.
Заметим прежде всего, что предел можно упростить, заменив знаменатель $ \sin^2x$ на эквивалентную бесконечно малую: $ \sin^2x\sim x^2$ при $ x\to0$. Получим:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sin^2x}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}.$
Числитель упростить пока не удаётся, поскольку правила вычисления пределов не позволяют нам заменять на эквивалентные слагаемые (а не множители). В предположении, что предел существует, найдём вместо него предел отношения производных, который, в соответствии с доказанной теоремой, равен исходному:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(e^x-1-x)'}{(x^2)'}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{2x}.$
Получившийся предел -- снова предел отношения бесконечно малых, но его легко вычислить, заменив числитель на эквивалентную бесконечно малую: $ e^x-1\sim x$ при $ x\to0$. Получаем:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{2x}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{2x}=\frac{1}{2}.$
Итак, получили, что предел отношения производных, действительно, существует и равен $ \frac{1}{2}$. По правилу Лопиталя отсюда следует, что исходный предел также существует и равен тому же числу:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}=\dfrac{1}{2}.$
Следовательно,
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sin^2x}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}.$
      

Михаил Полинский (1785 – 1848) родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Учился в Жировичах. В 1808 г. окончил Виленский университет со степенью доктора философии. С 1808 по 1813 г. был старшим учителем математики и логики в Минской гимназии, а с 1816 г. – в Виленском университете. В 1816 г. Полинский напечатал учебное пособие по тригонометрии, которым пользовались в гимназиях Беларуси. В 1817 – 1819 гг. он находился в заграничной командировке (Германия, Швейцария, Франция, Италия) с целью усовершенствования знаний в области математических наук и изучения системы образования в этих странах.

Решение задач по физике, электротехнике, математике