Сборник задач по ядерной физике Ядерная реакция Законы сохранения импульсная диаграмма Термоядерная реакция фотоэффект Эффект Комптона Закон Кирхгофа Волновая функция Уравнение Шрёдингера Длина волны Дебройля Волновые пакеты Туннельный эффект Оператор энергии Оператор импульса

Правило Лопиталя


    Пример   Рассмотрим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin\frac{1}{x}}{\sin x}.$ Его легко вычислить, заметив, что величина $ \sin\frac{1}{x}$ -- величина, локально ограниченная при базе $ x\to0$, а величина $ \dfrac{x^2}{\sin x}$ -- бесконечно малая:
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{x^2}{\sin x}=\lim_{x\to0}\dfrac{x^2}{x}=\lim_{x\to0}x=0.$
Следовательно, их произведение -- бесконечно малая величина, и
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin\frac{1}{x}}{\sin x}=0.$
С другой стороны, попробуем применить к исходному пределу отношения двух бесконечно малых $ x^2\sin\frac{1}{x}$ и $ \sin x$ правило Лопиталя и вычислить предел отношения производных этих двух функций. Имеем: $ (x^2\sin\frac{1}{x})'=2x\sin\frac{1}{x}+x^2\cos\frac{1}{x}(-\frac{1}{x^2})=
2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$ и $ (\sin x)'=\cos x$. Составим отношение этих двух производных:
$\displaystyle \dfrac{2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}}{\cos x}=
\dfrac{2x\sin\frac{1}{x}}{\cos x}-\dfrac{\cos\frac{1}{x}}{\cos x}.$
В этом выражении первое слагаемое имеет, очевидно, при $ x\to0$ предел, равный 0, а второе не имеет никакого предела; следовательно, не имеет предела и сумма.
Итак, исходное отношение бесконечно малых имеет предел, равный 0, в то время как отношение производных этих бесконечно малых не имеет никакого предела. Получаем, что применение к данному примеру правила Лопиталя не приводит к желаемому вычислению предела.     

Правило Лопиталя действует не только при базах $ x\to x_0$, $ x\to x_0-$, $ x\to x_0+$, но и при базах $ x\to\infty$, $ x\to-\infty$, $ x\to+\infty$. Докажем это.

 

Михаил Полинский (1785 – 1848) родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Учился в Жировичах. В 1808 г. окончил Виленский университет со степенью доктора философии. С 1808 по 1813 г. был старшим учителем математики и логики в Минской гимназии, а с 1816 г. – в Виленском университете. В 1816 г. Полинский напечатал учебное пособие по тригонометрии, которым пользовались в гимназиях Беларуси. В 1817 – 1819 гг. он находился в заграничной командировке (Германия, Швейцария, Франция, Италия) с целью усовершенствования знаний в области математических наук и изучения системы образования в этих странах.

Решение задач по физике, электротехнике, математике