Сборник задач по ядерной физике Ядерная реакция Законы сохранения импульсная диаграмма Термоядерная реакция фотоэффект Эффект Комптона Закон Кирхгофа Волновая функция Уравнение Шрёдингера Длина волны Дебройля Волновые пакеты Туннельный эффект Оператор энергии Оператор импульса

Правило Лопиталя

Пример  Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}$. (Это предел отношения двух бесконечно малых. Заметим, что $ \sin x$ не является множителем, так что его нельзя заменить на эквивалентную величину $ x$; если бы мы всё же сделали это, то сразу получили бы в числителе 0, и "ответ" равнялся бы 0.) Применим правило Лопиталя и получим, что
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\sin x-x)'}{(x^3)'}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2},$
в предположении, что последний предел существует. Этот последний предел можно найти, заметив, что $ \cos x-1\sim-\dfrac{x^2}{2}$ при $ x\to0$, и заменив числитель. Однако можно пойти и другим путём. Мы снова получили отношение двух бесконечно малых, к которому снова применим правило Лопиталя:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2}=
\lim\limits_{x\to0}\d...
...c{-\sin x}{6x}=
-\frac{1}{6}\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=-\frac{1}{6},$
поскольку $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ (это первый замечательный предел).
Итак, обоснование результата таково:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\cos x-1)'}{(3x^2)'}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{-\sin x}{6x}=
-\frac{1}{6},$
откуда по теореме 5.5
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2}=-\frac{1}{6},$
то есть
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\sin x-x)'}{(x^3)'}=-\frac{1}{6},$
откуда, в свою очередь, снова по теореме 5.5
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6}.$
Как правило, при вычислениях эти рассуждения "обратного хода" не приводят в явной форме для экономии места, но, строго говоря, их всегда нужно иметь в виду, когда после цепочки переходов по правилу Лопиталя мы получаем какой-либо ответ к исходному примеру на вычисление предела.     

Михаил Полинский (1785 – 1848) родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Учился в Жировичах. В 1808 г. окончил Виленский университет со степенью доктора философии. С 1808 по 1813 г. был старшим учителем математики и логики в Минской гимназии, а с 1816 г. – в Виленском университете. В 1816 г. Полинский напечатал учебное пособие по тригонометрии, которым пользовались в гимназиях Беларуси. В 1817 – 1819 гг. он находился в заграничной командировке (Германия, Швейцария, Франция, Италия) с целью усовершенствования знаний в области математических наук и изучения системы образования в этих странах.

Решение задач по физике, электротехнике, математике