Сборник задач по ядерной физике Ядерная реакция Законы сохранения импульсная диаграмма Термоядерная реакция фотоэффект Эффект Комптона Закон Кирхгофа Волновая функция Уравнение Шрёдингера Длина волны Дебройля Волновые пакеты Туннельный эффект Оператор энергии Оператор импульса

Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа


Пример   Найдите модуль и аргумент комплексных чисел: $ {z_1=-1+i}$ , $ {z_2=4}$ , $ {z_3=-\frac12-\frac{\sqrt3}2}i$ , $ {z_4=5i}$ , $ {z_5=-2-3i}$ .
Решение. Запишем числа со строгим указанием действительной и мнимой части:
$\displaystyle z_1=-1+1i,\quad z_2=4+0\cdot i,\quad z_3=-\frac12+\left(-\frac{\sqrt3}2\right)i,$
$\displaystyle z_4=0+5i,\quad z_5=-2+(-3)i.$
Тогда по формулам (17.6) и (17.7) находим:
$\displaystyle \vert z_1\vert=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2,\quad \arg z_1=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac1{-1}=\pi-\frac{\pi}4=\frac{3\pi}4;$
$\displaystyle \vert z_2\vert=\sqrt{4^2+0^2}=4,\quad \arg z_2=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac04=0;$
\begin{multline*}
\vert z_3\vert=\sqrt{\left(-\frac12\right)^2+\left(-\frac{\sq...
...left(-\frac12\right)\right)=\\
=\pi+\frac{\pi}3=\frac{4\pi}3;
\end{multline*}
$\displaystyle \vert z_4\vert=\sqrt{0^2+5^2}=5,\quad \arg z_4=\frac{\pi}2;$
$\displaystyle \vert z_5\vert=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13},\quad
\arg z_5=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{-3}{-2}=\pi+\mathop{\rm arctg}\nolimits 1.5.$
В последнем случае можно вычислить с помощью калькулятора $ {\mathop{\rm arctg}\nolimits 1.5}$ и записать $ {\arg z_5\approx 4.1244}$ .         

 

Михаил Полинский (1785 – 1848) родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Учился в Жировичах. В 1808 г. окончил Виленский университет со степенью доктора философии. С 1808 по 1813 г. был старшим учителем математики и логики в Минской гимназии, а с 1816 г. – в Виленском университете. В 1816 г. Полинский напечатал учебное пособие по тригонометрии, которым пользовались в гимназиях Беларуси. В 1817 – 1819 гг. он находился в заграничной командировке (Германия, Швейцария, Франция, Италия) с целью усовершенствования знаний в области математических наук и изучения системы образования в этих странах.

Решение задач по физике, электротехнике, математике