Сборник задач по ядерной физике Ядерная реакция Законы сохранения импульсная диаграмма Термоядерная реакция фотоэффект Эффект Комптона Закон Кирхгофа Волновая функция Уравнение Шрёдингера Длина волны Дебройля Волновые пакеты Туннельный эффект Оператор энергии Оператор импульса

Тригонометрическая форма комплексного числа

  Пример  Запишите в тригонометрической форме числа $ {z_1=2+2i}$ , $ {z_2=-i}$ , $ {z_3=\sqrt3-i}$ , $ {z_4=5}$ .
Решение. Находим модуль, аргумент, а затем выписываем тригонометрическую форму:
$\displaystyle \vert z_1\vert=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2,\quad \arg z_1=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac22=\frac{\pi}4,$
$\displaystyle z_1=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right);$
$\displaystyle \vert z_2\vert=\sqrt{0^2+(-1)^2},\quad \arg z_2=-\frac{\pi}2,$
$\displaystyle z_2=\cos\left(-\frac{\pi}2\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}2\right);$
$\displaystyle \vert z_3\vert=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2,\quad \arg z_3=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{-1}{\sqrt3}=
-\frac{\pi}6,$
$\displaystyle z_3=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}6\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}6\right)
\right);$
$\displaystyle \vert z_4\vert=\sqrt{5^2+0^2}=5,\quad \arg z_4=0,$
$\displaystyle z_4=5(\cos0+i\sin0).$
        

Пусть $ {z_1=r_1(\cos{\varphi}_1+i\sin{\varphi}_1)}$ , $ {z_2=r_2(\cos{\varphi}_2+i\sin{\varphi}_2)}$ . Найдем произведение $ {z_1z_2}$ :

\begin{multline*}
z_1z_2=r_1(\cos{\varphi}_1+i\sin{\varphi}_1)r_2(\cos{\varphi}...
...\varphi}_1\cos{\varphi}_2+\cos{\varphi}_1\sin{\varphi}_2)\big).
\end{multline*}

Заметим, что во внутренних скобках стоят формулы косинуса и синуса суммы аргументов. Поэтому

$\displaystyle z_1z_2=r_1r_2\big(\cos({\varphi}_1+{\varphi}_2)+i\sin({\varphi}_1+{\varphi}_2)\big).$

Последняя запись является тригонометрической формой комплексного числа $ z_1z_2$ . Значит,

$\displaystyle \vert z_1z_2\vert=r_1r_2=\vert z_1\vert\vert z_2\vert,$
$\displaystyle \arg(z_1z_2)={\varphi}_1+{\varphi}_2=\arg z_1+\arg z_2,$

иными словами, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Аналогично можно доказать, что

$\displaystyle \left\vert\frac{z_1}{z_2}\right\vert=\frac{\vert z_1\vert}{\vert z_2\vert},\quad
\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2,$

иными словами, при делении комплексных чисел их модули делятся один на другой, а аргументы вычитаются.

Несложно проверить, что если $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ , то

$\displaystyle \ovl z=r\big(\cos(-{\varphi})+i\sin(-{\varphi})\big).$

Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень $ n$ , где $ n$  -- натуральное число.

Пусть $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . Тогда

$\displaystyle z^2=z\cdot z=r^2\big(\cos({\varphi}+{\varphi})+i\sin({\varphi}+{\varphi})\big),$

то есть

$\displaystyle z^2=r^2(\cos2{\varphi}+i\sin2{\varphi}).$

Далее находим

$\displaystyle z^3=(z^2)\cdot z=r^3\big(\cos(2{\varphi}+{\varphi})+i\sin(2{\varphi}+{\varphi})\big),$

то есть

$\displaystyle z^3=r^3(\cos3{\varphi}+i\sin3{\varphi}).$

Продолжая умножения дальше, придем к формуле

$\displaystyle z^n=r^n(\cos n{\varphi}+i\sin n{\varphi}).$(17.9)
 


Эта формула называется формулой Муавра.  


Михаил Полинский (1785 – 1848) родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Учился в Жировичах. В 1808 г. окончил Виленский университет со степенью доктора философии. С 1808 по 1813 г. был старшим учителем математики и логики в Минской гимназии, а с 1816 г. – в Виленском университете. В 1816 г. Полинский напечатал учебное пособие по тригонометрии, которым пользовались в гимназиях Беларуси. В 1817 – 1819 гг. он находился в заграничной командировке (Германия, Швейцария, Франция, Италия) с целью усовершенствования знаний в области математических наук и изучения системы образования в этих странах.

Решение задач по физике, электротехнике, математике