Сборник задач по ядерной физике Ядерная реакция Законы сохранения импульсная диаграмма Термоядерная реакция фотоэффект Эффект Комптона Закон Кирхгофа Волновая функция Уравнение Шрёдингера Длина волны Дебройля Волновые пакеты Туннельный эффект Оператор энергии Оператор импульса

Извлечение корня из комплексного числа

    Пример   Найдите корни уравнения $ {z^4=-1}$ .
Решение. Запишем число $ -1$ в тригонометрической форме:
$\displaystyle -1=1\cdot (\cos\pi+i\sin\pi),$
то есть $ {\rho=1}$ , $ {\psi=\pi}$ . Тогда
$\displaystyle z=\sqrt[4]1\left(\cos\frac{\pi+2\pi k}4=i\sin\frac{\pi+2\pi k}4\right),
k=0,1,2,3.$
При $ {k=0}$ получим:
$\displaystyle z_1=\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4=\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt2}2.$
При $ {k=1}$ получим:
$\displaystyle z_2=\cos\frac{3\pi}4+i\sin\frac{3\pi}4=-\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt2}2.$
При $ {k=2}$ получим:
$\displaystyle z_3=\cos\frac{5\pi}4+i\sin\frac{5\pi}4=-\frac{\sqrt2}2-i\frac{\sqrt2}2.$
При $ {k=3}$ получим:
$\displaystyle z_4=\cos\frac{7\pi}4+i\sin\frac{7\pi}4=\frac{\sqrt2}2-i\frac{\sqrt2}2.$
Ответ: $ {z_1=\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2}$ , $ {z_2=-\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2}$ , $ {z_3=-\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2}$ , $ {z_4=\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2}$ .         
 


Михаил Полинский (1785 – 1848) родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Учился в Жировичах. В 1808 г. окончил Виленский университет со степенью доктора философии. С 1808 по 1813 г. был старшим учителем математики и логики в Минской гимназии, а с 1816 г. – в Виленском университете. В 1816 г. Полинский напечатал учебное пособие по тригонометрии, которым пользовались в гимназиях Беларуси. В 1817 – 1819 гг. он находился в заграничной командировке (Германия, Швейцария, Франция, Италия) с целью усовершенствования знаний в области математических наук и изучения системы образования в этих странах.

Решение задач по физике, электротехнике, математике