Сборник задач по ядерной физике Ядерная реакция Законы сохранения импульсная диаграмма Термоядерная реакция фотоэффект Эффект Комптона Закон Кирхгофа Волновая функция Уравнение Шрёдингера Длина волны Дебройля Волновые пакеты Туннельный эффект Оператор энергии Оператор импульса

Комплексные числа

Пример   Решите уравнение $ {(1+i)x^2+(1+3i)x-8+6i=0}$ .
Решение. Находим дискриминант:
$\displaystyle D=(1+3i)^2-4(1+i)(-8+6i)=48+14i.$
Решим уравнение $ y^2=D$ . Для этого находим $ \vert D\vert=50$ . Пусть $ {{\varphi}=\arg D}$ . Тогда $ {\cos{\varphi}=\frac{48}{50}=\frac{24}{25}}$ . Достаточно найти только одно решение. Второе получим умножением его на $ (-1)$ . По формуле (17.15)
$\displaystyle \sqrt D=5\sqrt2\left(\cos\frac{{\varphi}}2+i\sin\frac{{\varphi}}2\right).$
По формулам половинного аргумента с учетом того, что $ {0<{\varphi}<\frac{\pi}2}$ , получим
$\displaystyle \cos\frac{{\varphi}}2=\sqrt{\frac{1+\cos{\varphi}}2}=\sqrt{\frac{1+\frac{24}{25}}2}=
\frac7{5\sqrt2},$
$\displaystyle \sin\frac{{\varphi}}2=\sqrt{\frac{1-\cos{\varphi}}2}=\sqrt{\frac{1-\frac{24}{25}}2}=
\frac1{5\sqrt2}.$
Таким образом, $ {\sqrt D=7+i}$ .
По формулам (17.16)
$\displaystyle x_1=\frac{-1-3i+7+i}{2(1+i)}=\frac{3-i}{1+i}=1-2i,$    
$\displaystyle x_2=\frac{-1-3i-7-i}{2(1+i)}=\frac{-4-2i}{1+i}=-3+i.$    

Ответ: $ x_1=1-2i$ , $ x_2=-3+i$ .