Сборник задач по ядерной физике Ядерная реакция Законы сохранения импульсная диаграмма Термоядерная реакция фотоэффект Эффект Комптона Закон Кирхгофа Волновая функция Уравнение Шрёдингера Длина волны Дебройля Волновые пакеты Туннельный эффект Оператор энергии Оператор импульса

Линейные пространства и преобразования

 

        Пример 19.4   Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, Выберем в этом пространстве базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Тогда у любого вектора $ x$ есть его координатный столбец $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ . Пусть $ A$  -- квадратная матрица порядка $ n$ . Определим преобразование $ \mathcal{A}$ следующим образом: $ {x'=\mathcal{A}(x)}$ является вектором, координатный столбец которого равен $ {{\alpha}'=A{\alpha}}$ (справа стоит произведение матрицы $ A$ на столбец $ {\alpha}$ ). Покажем, что преобразование $ \mathcal{A}$  -- линейное.
Пусть $ x$ и $ y$ имеют координатные столбцы $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ соответственно, а их образы $ \mathcal{A}(x)$ и $ \mathcal{A}(y)$  -- координатные столбцы $ {\alpha}'$ , и $ {\beta}'$ . Тогда
$\displaystyle {\alpha}'=A{\alpha},\quad {\beta}'=A{\beta},\quad {\alpha}'+{\beta}'=A{\alpha}+A{\beta}=A({\alpha}+{\beta}).$
Но выражение в последнем равенстве справа является координатным столбцом образа суммы векторов $ {x+y}$ . Следовательно, $ {\mathcal{A}(x)+\mathcal{A}(y)=\mathcal{A}(x+y)}$ .
Пусть $ {\lambda}$  -- произвольное число. Тогда координатный столбец вектора $ {\lambda}x$ равен $ {\lambda}{\alpha}$ , координатный столбец образа вектора
$\displaystyle A({\lambda}x)={\lambda}A{\alpha}={\lambda}{\alpha}',$
то есть равен числу $ {\lambda}$ , умноженному на координатный столбец образа вектора $ x$ . Поэтому $ {\mathcal{A}({\lambda}x)={\lambda}\mathcal{A}(x)}$ . Тем самым мы доказали, что преобразование $ \mathcal{A}$ является линейным.         

Очевидно, что примерами линейных преобразований могут служить тождественное преобразование, то есть преобразование, переводящее каждый вектор в себя, $ {\mathcal{A}(x)=x}$ , и нулевое преобразование, переводящее каждый вектор в нуль, $ {\mathcal{A}(x)=0}$ .

Легко проверяется, что для любого линейного преобразования $ \mathcal{A}$ образ нуля равен нулю, $ {\mathcal{A}(0)=0}$ . Действительно, в силу второго из равенств (19.1)

$\displaystyle \mathcal{A}(0)=\mathcal{A}(0\cdot x)=0\cdot\mathcal{A}(x)=0.$

 

Михаил Полинский (1785 – 1848) родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Учился в Жировичах. В 1808 г. окончил Виленский университет со степенью доктора философии. С 1808 по 1813 г. был старшим учителем математики и логики в Минской гимназии, а с 1816 г. – в Виленском университете. В 1816 г. Полинский напечатал учебное пособие по тригонометрии, которым пользовались в гимназиях Беларуси. В 1817 – 1819 гг. он находился в заграничной командировке (Германия, Швейцария, Франция, Италия) с целью усовершенствования знаний в области математических наук и изучения системы образования в этих странах.

Решение задач по физике, электротехнике, математике