Пример Пусть $ f(x)=x^2$, $ g(x)=x$ и взята база $ \mathcal{B}=\{x\to0\}$. Тогда, очевидно, $ \lim\limits_{x\to0}f(x)=0$, $ \lim\limits_{x\to0}g(x)=0$ и отношение пределов $ \dfrac{\lim\limits_{x\to0}f(x)}{\lim\limits_{x\to0}g(x)}$ не имеет смысла. При этом $ \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{x^2}{x}=x$ при $ x\ne0$ и предел отношения существует: $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to0}x=0$.

Оказывается, условия $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)\ne0$, которое обеспечивает то, что отношение пределов имеет смысл,-- этого условия достаточно для того, чтобы предел отношения двух функций был равен отношению их пределов. Ниже мы докажем соответствующую теорему, а пока докажем такое вспомогательное утверждение.


 

Михаил Полинский (1785 – 1848) родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Учился в Жировичах. В 1808 г. окончил Виленский университет со степенью доктора философии. С 1808 по 1813 г. был старшим учителем математики и логики в Минской гимназии, а с 1816 г. – в Виленском университете. В 1816 г. Полинский напечатал учебное пособие по тригонометрии, которым пользовались в гимназиях Беларуси. В 1817 – 1819 гг. он находился в заграничной командировке (Германия, Швейцария, Франция, Италия) с целью усовершенствования знаний в области математических наук и изучения системы образования в этих странах.

Решение задач по физике, электротехнике, математике