Пример Найдём предел
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{4x^2+1}}.$
Для этого поделим числитель и знаменатель дроби на $ x$ (под знаком корня в знаменателе для этого придётся поделить на $ x^2$):
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{4x^2+1}}=
\li...
...to+\infty}\dfrac{1+e^{-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x}}
{\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}.$
Поскольку $ \frac{1}{x^2}\xrightarrow {x\to+\infty}0$, то подкоренное выражение стремится к 4, а весь знаменатель-- к $ \sqrt{4}=2$. Предел знаменателя оказался отличен от 0, поэтому предел отношения равен отношению пределов. Найдём предел числителя. Поскольку $ e^{-\frac{1}{x}}<1$ при всех $ x>0$ (так как показатель степени отрицателен), то величина $ e^{-\frac{1}{x}}$ локально ограничена при базе $ x\to+\infty$ и поскольку величина $ \frac{1}{x}$-- бесконечно малая при этой базе, то произведение $ e^{-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x}$ также бесконечно мало, то есть стремится к 0 при $ x\to+\infty$. Значит, предел числителя равен
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+e^{-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x}\right)=1+0=1,$
а исходный предел--
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{4x^2+1}}=
\li...
...rac{1+e^{-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x}}
{\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}=\dfrac{1}{2}.$


 
 

Михаил Полинский (1785 – 1848) родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Учился в Жировичах. В 1808 г. окончил Виленский университет со степенью доктора философии. С 1808 по 1813 г. был старшим учителем математики и логики в Минской гимназии, а с 1816 г. – в Виленском университете. В 1816 г. Полинский напечатал учебное пособие по тригонометрии, которым пользовались в гимназиях Беларуси. В 1817 – 1819 гг. он находился в заграничной командировке (Германия, Швейцария, Франция, Италия) с целью усовершенствования знаний в области математических наук и изучения системы образования в этих странах.

Решение задач по физике, электротехнике, математике