Пример   Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$.
Преобразуем функцию под знаком предела следующим образом:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}=
\lim\limits_{x\to0}
\left(\dfrac{\sin 2x}{2x}\cdot\dfrac{3x}{\sin 3x}\cdot\dfrac{2}{3}\right).$
Теперь вынесем постоянный множитель за знак предела и применим теорему о пределе произведения:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}=
\dfrac{2}{3}
\lim\...
...s_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{2x}\cdot
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x}{\sin 3x}\cdot.$
(Чуть ниже мы увидим, что пределы сомножителей существуют, так что применять эту теорему здесь можно.) Заметим, что при заменах $ t=2x$ и $ y=3x$ база $ x\to0$ переходит в базу $ t\to0$ и $ y\to0$, так что
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{2x}=
\lim\limits_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1$
и
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x}{\sin 3x}=
\lim\limits_{y\to0}\dfrac{y}{\sin y}=1.$
Поэтому
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}=
\dfrac{2}{3}\cdot1\cdot1=\dfrac{2}{3}.$
    
  

Михаил Полинский (1785 – 1848) родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Учился в Жировичах. В 1808 г. окончил Виленский университет со степенью доктора философии. С 1808 по 1813 г. был старшим учителем математики и логики в Минской гимназии, а с 1816 г. – в Виленском университете. В 1816 г. Полинский напечатал учебное пособие по тригонометрии, которым пользовались в гимназиях Беларуси. В 1817 – 1819 гг. он находился в заграничной командировке (Германия, Швейцария, Франция, Италия) с целью усовершенствования знаний в области математических наук и изучения системы образования в этих странах.

Решение задач по физике, электротехнике, математике