Пример Используя первый замечательный предел, легко видеть, что при $ a\ne0$ и $ b\ne0$
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sin ax}{bx}=
\lim_{x\to0}\dfrac{\sin ax}{ax}...
...}{b}\cdot
\lim_{x\to0}\dfrac{\sin ax}{ax}=\dfrac{a}{b}\cdot1=\dfrac{a}{b}\ne0.$
Это означает, что величины $ {{\alpha}(x)=\sin ax}$ и $ {{\beta}(x)=bx}$ имеют один и тот же порядок малости при $ x\to0$.

Предложение 2.3 Если $ {\alpha}(x)$ имеет при базе $ \mathcal{B}$ больший порядок малости, чем $ {\varphi}(x)$, а $ \psi(x)$-- такой же порядок малости, что и $ {\varphi}(x)$, то $ {\alpha}(x)$ имеет больший порядок малости, чем $ \psi(x)$.

Доказательство. Для доказательства напишем такую цепочку равенств:

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\alpha}(x)}{\psi(x)}=
\lim_{\mathcal{B...
...(x)}{{\varphi}(x)}
\lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=0\cdot L=0,$

что и доказывает предложение.

 

Михаил Полинский (1785 – 1848) родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Учился в Жировичах. В 1808 г. окончил Виленский университет со степенью доктора философии. С 1808 по 1813 г. был старшим учителем математики и логики в Минской гимназии, а с 1816 г. – в Виленском университете. В 1816 г. Полинский напечатал учебное пособие по тригонометрии, которым пользовались в гимназиях Беларуси. В 1817 – 1819 гг. он находился в заграничной командировке (Германия, Швейцария, Франция, Италия) с целью усовершенствования знаний в области математических наук и изучения системы образования в этих странах.

Решение задач по физике, электротехнике, математике