Пример При базе $ x\to0$ величины $ Cx^t$ и $ Dx^t$, где $ t>0$ и $ C=\mathrm{const}\ne0$, $ D=\mathrm{const}\ne0$, имеют один и тот же порядок малости (так как, очевидно, их отношение постоянно и его предел $ \dfrac{Cx^t}{Dx^t}=\dfrac{C}{D}$ постоянно и его предел равен $ \dfrac{C}{D}\ne0$. Например, при $ x\to0$ величины $ 2x^2$ и $ 5x^2$ имеют один и тот же порядок малости.
При базе $ x\to0+$ величина $ x^t$ имеет больший порядок малости, чем $ x^s$, при $ t>s>0$:
$\displaystyle \lim_{x\to0+}\dfrac{x^t}{x^s}=\lim_{x\to0+}x^{t-s}=0,$
так как $ t-s>0$. Если степени $ x^s$ и $ x^t$ определены и при $ x<0$, то аналогичное утверждение верно и для двусторонней базы $ x\to0$. Например, при $ x\to0+$ величина $ \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$-- большего порядка малости, чем $ \sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}$. При $ x\to0$ величина $ x^2$-- большего порядка малости, чем $ x$, а $ x$-- величина большего порядка малости, чем $ \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$.

 

Михаил Полинский (1785 – 1848) родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Учился в Жировичах. В 1808 г. окончил Виленский университет со степенью доктора философии. С 1808 по 1813 г. был старшим учителем математики и логики в Минской гимназии, а с 1816 г. – в Виленском университете. В 1816 г. Полинский напечатал учебное пособие по тригонометрии, которым пользовались в гимназиях Беларуси. В 1817 – 1819 гг. он находился в заграничной командировке (Германия, Швейцария, Франция, Италия) с целью усовершенствования знаний в области математических наук и изучения системы образования в этих странах.

Решение задач по физике, электротехнике, математике