Пример Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x+x^2}{\sin5x+2x^3}.$
Для этого заметим, что, как мы проверяли выше, $ x^2$-- величина большего порядка малости, чем $ \sin3x$. Аналогично проверяется, что $ 2x^3$-- величина большего порядка малости, чем $ \sin5x$. Поскольку слагаемые большего порядка малости можно отбросить, то
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x+x^2}{\sin5x+2x^3}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{\sin5x}.$
Далее, поскольку $ \sin3x$, очевидно, эквивалентен $ 3x$ (согласно первому замечательному пределу), а $ \sin5x$ эквивалентен $ 5x$, то последний предел можно упростить, заменив бесконечно малые в числителе и знаменателе на эквивалентные им, а затем сократить на$ x$:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{\sin5x}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x}{5x}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{5}.$
При вычислении пределов часто бывают полезны также следующие два утверждения.

Михаил Полинский (1785 – 1848) родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Учился в Жировичах. В 1808 г. окончил Виленский университет со степенью доктора философии. С 1808 по 1813 г. был старшим учителем математики и логики в Минской гимназии, а с 1816 г. – в Виленском университете. В 1816 г. Полинский напечатал учебное пособие по тригонометрии, которым пользовались в гимназиях Беларуси. В 1817 – 1819 гг. он находился в заграничной командировке (Германия, Швейцария, Франция, Италия) с целью усовершенствования знаний в области математических наук и изучения системы образования в этих странах.

Решение задач по физике, электротехнике, математике