Сборник задач по ядерной физике Ядерная реакция Законы сохранения импульсная диаграмма Термоядерная реакция фотоэффект Эффект Комптона Закон Кирхгофа Волновая функция Уравнение Шрёдингера Длина волны Дебройля Волновые пакеты Туннельный эффект Оператор энергии Оператор импульса

Производная

Пример Пусть $ f(x)=\vert x\vert$ и $ x_0=0$. Вычислим односторонние производные $ f'_+(0)$ и $ f'_-(0)$.
При $ h>0$ имеем $ x_0+h=h>0$ и $ f(x_0+h)=f(h)=\vert h\vert=h$. Значит, разностное отношение равно $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\dfrac{h-0}{h}=1$ и $ f'_+(0)=\lim\limits_{h\to0}1=1.$
При $ h<0$ имеем $ x_0+h=h<0$ и $ f(x_0+h)=f(h)=\vert h\vert=-h$. Значит, разностное отношение равно $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\dfrac{-h-0}{h}=-1$ и $ f'_+(0)=\lim\limits_{h\to0}(-1)=-1.$
Графически это означает следующее. Мы строим касательную к графику
$\displaystyle y=\vert x\vert=\left\{\begin{array}{ll}
-x,&\mbox{ при }x<0;\\
x,&\mbox{ при }x\geqslant 0,
\end{array}\right.$
в точке $ M_0=O$, сначала пользуясь секущими $ M_0M_1$ с точкой $ M_1$ правее $ M_0$. Эта касательная, как и все такие секущие, совпадают между собой и имеют уравнение $ {y=x}$, задающее прямую, наклонённую под углом $ \frac{\pi}{4}$ к оси $ Ox$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits \frac{\pi}{4}=1=f'_+(0)$). Далее, мы строим касательную, пользуясь секущими $ M_0M_2$ с точкой $ M_2$ левее $ M_0$. Все такие секущие и касательная, по ним построенная, совпадают между собой и имеют уравнение $ {y=-x}$, задающее прямую, наклонённую под углом $ -\frac{\pi}{4}$ к оси $ Ox$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits (-\frac{\pi}{4})=-1=f'_-(0)$).
Рис.4.4.График $ y=\vert x\vert$ имеет излом при $ x=0$

Таким образом, неравенство левой и правой производной выражает тот геометрический факт, что линия $ y=\vert x\vert$ имеет при $ x=0$ излом под углом $ \frac{\pi}{2}$ и не имеет общей касательной сразу к двум сторонам этого угла.

Михаил Полинский (1785 – 1848) родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Учился в Жировичах. В 1808 г. окончил Виленский университет со степенью доктора философии. С 1808 по 1813 г. был старшим учителем математики и логики в Минской гимназии, а с 1816 г. – в Виленском университете. В 1816 г. Полинский напечатал учебное пособие по тригонометрии, которым пользовались в гимназиях Беларуси. В 1817 – 1819 гг. он находился в заграничной командировке (Германия, Швейцария, Франция, Италия) с целью усовершенствования знаний в области математических наук и изучения системы образования в этих странах.

Решение задач по физике, электротехнике, математике