Сборник задач по ядерной физике Ядерная реакция Законы сохранения импульсная диаграмма Термоядерная реакция фотоэффект Эффект Комптона Закон Кирхгофа Волновая функция Уравнение Шрёдингера Длина волны Дебройля Волновые пакеты Туннельный эффект Оператор энергии Оператор импульса

Производная композиции


    Пример   Пусть $ y=\sin2x$, то есть $ y=\sin u$, где $ u=2x$: данная функция представлена в виде композиции функций $ \sin u$ и $ 2x$. Тогда для нахождения производной мы можем применить формуду производной композиции. Поскольку $ (\sin u)'_u=\cos u$ и $ (2x)'_x=2$ (нижний индекс мы пишем для напоминания о том, по какой переменной берётся производная), то
$\displaystyle (\sin2x)'_x=\cos u\cdot2=2\cos2x.$
Тот же самый, разумеется, результат мы получим, использовав равенство $ {\sin2x=2\sin x\cos x}$ и применив формулу производной произведения:
$\displaystyle (\sin2x)'=2(\sin x\cos x)'=2(\cos x\cos x+\sin x(-\cos x))=
2(\cos^2x-\sin^2x)=2\cos2x.$
Однако первый способ гораздо продуктивнее: совершенно аналогично получаем, например,
$\displaystyle (\sin5x)'=\cos5x\cdot(5x)'=5\cos5x;$
$\displaystyle (\cos3x)'=(-\sin3x)\cdot(3x)'=-3\sin3x$
и т. п.     

Беря в качестве промежуточного аргумента любую дифференцируемую функцию $ {u=u(x)}$, из доказанных ранее формул получаем:

$\displaystyle (u^n)'_x=nu^{n-1}u'_x,$   

в частности,


$\displaystyle (u^2)'_x=2uu'_x,\;(\sqrt{u})'_x=\dfrac{u'_x}{2\sqrt{u}},\;
 \left(\dfrac{1}{u}\right)'_x=-\dfrac{u'_x}{u^2};$   
$\displaystyle (\sin u)'_x=\cos uu'_x;$   
$\displaystyle (\cos u)'_x=-\sin uu'_x;$   
$\displaystyle (\mathop{\rm tg}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\cos^2u};$   
$\displaystyle (\mathop{\rm ctg}\nolimits u)'_x=-\dfrac{u'_x}{\sin^2u};$   
$\displaystyle (\log_au)'_x=\dfrac{u'_x}{u\ln a},$   

в частности,


$\displaystyle (\ln u)'_x=\dfrac{u'_x}{u}.$   
 


        Пример   Найдём производную функции $ y=\mathop{\rm tg}\nolimits (5x^2+3)$. Здесь промежуточный аргумент равен $ u=5x^2+3$; $ u'_x=5\cdot2x=10x$. Поэтому по формуле $ (\mathop{\rm tg}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\cos^2u}$ получаем:
$\displaystyle y'=\dfrac{10x}{\cos^2(5x^2+3)}.$
    
      

Михаил Полинский (1785 – 1848) родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Учился в Жировичах. В 1808 г. окончил Виленский университет со степенью доктора философии. С 1808 по 1813 г. был старшим учителем математики и логики в Минской гимназии, а с 1816 г. – в Виленском университете. В 1816 г. Полинский напечатал учебное пособие по тригонометрии, которым пользовались в гимназиях Беларуси. В 1817 – 1819 гг. он находился в заграничной командировке (Германия, Швейцария, Франция, Италия) с целью усовершенствования знаний в области математических наук и изучения системы образования в этих странах.

Решение задач по физике, электротехнике, математике