Сборник задач по ядерной физике Ядерная реакция Законы сохранения импульсная диаграмма Термоядерная реакция фотоэффект Эффект Комптона Закон Кирхгофа Волновая функция Уравнение Шрёдингера Длина волны Дебройля Волновые пакеты Туннельный эффект Оператор энергии Оператор импульса

Производная композиции


  Пример   Найдём производную функции $ y=\cos^52x$. Здесь функция имеет вид $ y=u^5$, с промежуточным аргументом $ u=\cos2x$, который, в свою очередь, является сложной функцией. Поэтому
\begin{multline*}
y'=5u^4u'_x=5(\cos2x)^4(\cos2x)'_x=5\cos^42x(-\sin2x)(2x)'=\\
=-5\cos^42x\sin2x\cdot2=-10\cos^42x\sin2x.
\end{multline*}
    
        Пример   Найдём производные ареа-функций (напомним, что ареа-функции -- это функции, обратные к гиперболическим функциям). Ранее мы записали для них следующие формулы:
$\displaystyle \mathop{\rm arsh}\nolimits x=\ln(x+\sqrt{x^2+1});$    
$\displaystyle \mathop{\rm arch}\nolimits x=\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})$    

(в зависимости от того, что считать главной ветвью функции $ \mathop{\rm ch}\nolimits $);


$\displaystyle \mathop{\rm arth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x};$    
$\displaystyle \mathop{\rm arcth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x-1}.$    

Поэтому
\begin{multline*}
(\mathop{\rm arsh}\nolimits x)'=(\ln(x+\sqrt{x^2+1}))'=
\dfr...
...1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=
\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}},
\end{multline*}
и аналогично:
\begin{multline*}
(\mathop{\rm arch}\nolimits x)'=(\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})'=
\df...
...{\sqrt{x^2-1}}}{x\pm\sqrt{x^2-1}}=
\pm\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}};
\end{multline*}
\begin{multline*}
(\mathop{\rm arth}\nolimits x)'=(\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-...
...dfrac{\dfrac{2}{(1-x)^2}}{\dfrac{1+x}{1-x}}=
\dfrac{1}{1-x^2};
\end{multline*}
и аналогично:
\begin{multline*}
(\mathop{\rm arcth}\nolimits x)'=(\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x...
...frac{\dfrac{-2}{(x-1)^2}}{\dfrac{x+1}{x-1}}=
\dfrac{1}{1-x^2}.
\end{multline*}
Последние две формулы не противоречат друг другу, так как при $ x\in(-1;1)$, а $ (\mathop{\rm arcth}\nolimits x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$ при $ x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$.     
$ (\mathop{\rm arth}\nolimits x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$
     

Михаил Полинский (1785 – 1848) родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Учился в Жировичах. В 1808 г. окончил Виленский университет со степенью доктора философии. С 1808 по 1813 г. был старшим учителем математики и логики в Минской гимназии, а с 1816 г. – в Виленском университете. В 1816 г. Полинский напечатал учебное пособие по тригонометрии, которым пользовались в гимназиях Беларуси. В 1817 – 1819 гг. он находился в заграничной командировке (Германия, Швейцария, Франция, Италия) с целью усовершенствования знаний в области математических наук и изучения системы образования в этих странах.

Решение задач по физике, электротехнике, математике