Рассмотрим интеграл $\displaystyle Y(p)=\int_0^1\frac{dx}{x^p}.$

 

Если $ p>0$ , то подынтегральная функция $ f(x)=\frac{1}{x^p}$ стремится к $ +\infty$ при $ x\to0+$ , так что получается несобственный интеграл второго рода.

Рассмотрим такие случаи: Сферические координаты. Отнесём теперь область интегрирования  к системе сферических координат . В этой системе координат положение точки M в пространстве определяется её расстоянием r от начала координат (длина радиуса-вектора точки), углом  между радиусом-вектором точки и осью Oz и углом  между  проекцией радиуса вектора точки на плоскость Oxy и осью Ox

1) $ 0<p<1$ . Тогда интеграл вычисляется так: Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования

 

$\displaystyle Y(p)=\int_0^1\frac{dx}{x^p}=\frac{1}{1-p}x^{1-p}\Bigr\vert _0^1=
\frac{1}{1-p}-0=\frac{1}{1-p},$

поскольку при $ p<1$ имеем $ 1-p>0$ и $ 0^{1-p}=0.$

2) $ p=1$ . Тогда

 

$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x}=\ln\vert x\vert\Bigr\vert _0^1=0-(-\infty)=\infty,$

то есть интеграл расходится, поскольку $ \ln x\to-\infty$ при $ x\to0+$ .

3) $ p>1$ . Тогда

$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^p}=-\frac{1}{p-1}\frac{1}{x^{p-1}}\Bigr\vert _0^1=
-\frac{1}{p-1}+\infty=\infty,$

и интеграл снова расходится, поскольку$ \frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^{p-1}}}\to+\infty$ при $ x\to0+$ , если показатель $ p-1>0$ .

Заметим также, что при $ x\leqslant 0$ интеграл не является несобственным: это обычный (то есть собственный) интеграл от непрерывной ограниченной функции. Единственная неприятность получается при $ p=0$ , поскольку тогда подынтегральная функция $ f(x)=x^0$ не определена при $ x=0$ (и тождественно равна 1 при $ x>0$ ). Но мы знаем, согласно одному из свойств определённого интеграла, что значение подынтегральной функции в одной точке можно изменить без изменения значения интеграла. Так что достаточно переопределить значение в 0, положив $ f(0)=1$ и получив собственный интеграл $ p\geqslant 1$ .     

Михаил Полинский (1785 – 1848) родился в Слонимском уезде Гродненской губернии. Учился в Жировичах. В 1808 г. окончил Виленский университет со степенью доктора философии. С 1808 по 1813 г. был старшим учителем математики и логики в Минской гимназии, а с 1816 г. – в Виленском университете. В 1816 г. Полинский напечатал учебное пособие по тригонометрии, которым пользовались в гимназиях Беларуси. В 1817 – 1819 гг. он находился в заграничной командировке (Германия, Швейцария, Франция, Италия) с целью усовершенствования знаний в области математических наук и изучения системы образования в этих странах.

Решение задач по физике, электротехнике, математике