Исследование функции и построение графика

Электрические цепи переменного тока Явление резонанса векторная диаграмма Электpостатика Закон Кулона Потенциал Диэлектpики Пpоводники Теоpема Гаусса Электpическая емкость Физика атомного ядра Электромагнетизм Волновая оптика Математика Задачи Векторная алгебра Производная

Функции

пример

Первый способ задания функции: табличный

задача

задача

Второй способ задания функции: с помощью формулы

Пусть $ A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$ -- числовая плоскость и функция $ f$ задана формулой $\displaystyle f(x;y)=x^2+2xy-y^2.$

Пусть $ f(x)=x_1^2+2x_1+3x_2-x_2^2$ -- функция, заданная во всех точках плоскости $ \mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}$

Пусть $ f(x)=x_1^2+2x_1+3x_2-x_2^2$ -- функция, заданная во всех точках плоскости $ \mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}$

Композиция функций

Пусть $ f(x)=\sin x$, $ x\in X=[0;\frac{\pi}{2}]$, и $ g(u)=\sqrt{1-u^2}$, $ u\in U_2=[-1;1]$

Обратная функция

Если $ f$-- ограничение функции $ \sin$ на отрезок $ [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ (это ограничение называется главной ветвью синуса), то отображение $ f:[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\to[-1;1]$-- биекция.

Аналогично определяется функция арккосинус (обозначается $ \arccos$ или $ \cos^{-1}$). Это функция, обратная к ограничению функции $ \cos$ на отрезок $ [0;\pi]$ (такое ограничение называется главной ветвью косинуса):

Функция арктангенс (обозначается $ \mathop{\rm arctg}\nolimits $, или $ \mathop{\rm tg}\nolimits ^{-1}$, или $ \tan^{-1}$)-- это функция, обратная к ограничению функции $ \mathop{\rm tg}\nolimits $ на интервал $ (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$, то есть обратная к главной ветви тангенса:

Определение непрерывности функции

Рассмотрим функцию $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{\sin x}{x},&\mbox{при }x\ne0;\\
1,&\mbox{при }x=0\end{array}\right.$ и точку $ {x_0=0}$.

Пусть $ f(x)=\sqrt{\vert x\vert}$ и $ x_0=0$. Тогда $ \lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\sqrt{\vert x\vert}=0$ и $ {f(0)=\sqrt{0}=0}$.

Определение точек разрыва

Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x}$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода, так как $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$ и $ f(x)\to-\infty$ при $ x\to0-$

Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{\vert x^2-x\vert}{x^2-x}$, для которой $\displaystyle \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x^2-x\ne0\}=(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$

Возьмём $ f(x)=\frac{\sin x}{x}$

Рассмотрим функцию $ f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$

Рассмотрим функцию $ f(x)=x^n\sin\frac{1}{x}$, где $ n\in\mathbb{N}$.

Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Рассмотрим функцию $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}$; её область определения $ {\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}}$, и точка $ x=0$ -- точка разрыва.

Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода, так как $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$ и $ x\to0-$.      Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\sin\dfrac{1}{x}$

Рассмотрим функцию $ f(x)$, заданную равенством $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\cos^nx.$

Непрерывность функций и точки разрыва

Рассмотрим функцию $ H(x)=\left\{\begin{array}{rl}
0,&\mbox{ при }x<0;\\
1,&\mbox{ при }x\geqslant 0
\end{array}\right.
$ (функция Хевисайда) на отрезке $ [0;b]$, $ b>0$. Рассмотрим функцию $ f(x)=\cos x-x$ на отрезке $ [0;\frac{\pi}{2}]$.

Пусть функция $ f(x)$ определена на интервале $ (0;4)$ следующим образом: $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\dfrac{1}{x},&\mbox{ если }x\in(0;...
...x,&\mbox{ если }x\in(2;3];\\
2,&\mbox{ если }x\in(3;4).
\end{array}\right.
$

Равномерная непрерывность

Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$ и покажем, что она равномерно непрерывна на всей числовой оси $ \mathbb{R}$.

Пусть функция $ f(x)=\dfrac{1}{x}$ рассматривается на интервале $ (0;1)$.

Возрастание и убывание функции

Рассмотрим функцию $ f(x)=x^3$ $ f(x)=x^2\ln x$

$ f(x)=x^3e^x$

Экстремум функции и необходимое условие экстремума

Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4+2x^2+5$. $ f(x)=x^4-2x^2+5$ $ f(x)=\vert x\vert$ $ f(x)=(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)^3$

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $\displaystyle f(x)=x^3+6x^2-15x-17$

Достаточные условия локального экстремума

Функция $ f(x)=x^4$ также имеет единственную стационарную точку $ x_0=0$ Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4-2x^2$.

Выпуклость функции

Рассмотрим функцию $ f(x)=\vert x\vert$. Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$; её график -- парабола $ y=x^2$. $ f(x)=x^4-2x^2$ $ f(x)=x^4$ $ f(x)=x^3$ $ f(x)=\sqrt[3]{x}$

Общая схема исследования функции и построения её графика

Для функции $ f(x)=(\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}$ считаем, что $ \mathcal{D}(f)=(0;+\infty)$, хотя правая часть имеет смысл также при всех целых отрицательных $ x$.    

Примеры исследования функций и построения графиков

Построим график функции Исследуем функцию и построим её график. $ f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$ $ f(x)=\dfrac{x^2+x}{x^2-3x+2}$

$ f(x)=(x^2-2x)e^x$

Кривизна графика функции

Найдём кривизну параболы $ y=x^2$ при произвольном значении $ x$.

Умножение матриц

Даны матрицы $ A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 3&4&0\\ -1&2&-2\end{array}\right)$ , $ B=\left(\begin{array}{rr}
3&-2\\ 1&0\\ 4&-3\end{array}\right)$ . Найдите произведения $ AB$ и $ BA$ .

Матрицы, Определители

Пусть $ {A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\ -1&0&-2\\ -4&-3&5\end{array}\right)}$

Вычислите определитель матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}2&-1&3&2\\ 3&1&7&0\\ -4&-1&2&1\\
-6&7&1&-1\end{array}\right)$

Ранг матрицы

Алгоритм нахождения ранга матрицы

Пусть $ {A=\left(\begin{array}{rrrr}1&2&-1&0\\ 3&4&-5&6\\ 5&-2&-3&-4\end{array}\right)}$

Пусть $ {A=\left(\begin{array}{rrr}1&3&6\\ 2&1&2\\ 3&4&8\end{array}\right)}$

Обратная матрица

Найдите обратную матрицу для матрицы $ {A=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\end{array}\right)}$

Найдите обратную матрицу для матрицы $ {A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\ -2&5\end{array}\right)}$ .

Сложение матриц и умножение на число

Пусть $ A=\left(\begin{array}{rrr}1&3&2\\ -1&4&1\end{array}\right)$ , $ B=\left(\begin{array}{rrr}3&-2&0\\
-5&1&3\end{array}\right)$

Матрица линейного преобразования

Найдем матрицу линейного преобразования $ \mathcal{A}$

Найдем матрицу линейного преобразования $ \mathcal{A}$

Решение задач по физике, электротехнике, математике