Атом водорода Классическая теория теплоёмкости Дебаевская теория Решётка Браве Проводимость твёрдых тел Проводники, полупроводники и изоляторы Прикладная математика и физика Электромагнитное взаимодействие Первообразная функция Интегрирование Вычислить производную задачи
Волновая оптика Квантовая оптика Колебания начало
21.1.1.4. Анализ зависимости n(ω)
 

Как показывает опыт затухание оказывает незначительное влияние на движение оптического электрона, если частота световой волны не равна ω0 - собственной частоте колебаний электрона. Точнее, затуханием можно пренебречь, если

.

При выполнении этого условия

.

В первом случае (если ω < ω0) колебания электрона происходят в фазе с вынуждающей силой, Cosφ = 1. Во втором (ω > ω0) - в противофазе, Cosφ = -1.

Учитывая это можно записать упрощенное выражение для n2, применимое для частот далеких от ω0:

.

Здесь знак второго слагаемого при ω < ω0 положителен, при ω > ω0 второе слагаемое отрицательное.

Для ω = ω0   φ = π/2, а Cosφ = 0, тогда, возвращаясь к исходному выражению для n2 (20.1.1.3), получим:

n = 1.


 

21.1.1.5. График зависимости n(ω)

Проведенный анализ позволяет изобразить примерный вид графика зависимости показателя преломления от циклической частоты:

На участках AB и DEn растет с ростом ω - дисперсия нормальная. На участке BCD дисперсия аномальная - с ростом показатель преломления падает.


21.1.1.2.6. График зависимости n(λ)

Так как длина волны λ и циклическая частота величины, связанные обратно пропорциональной зависимостью (15.1.8), то график n(λ), соответствующий приведенному выше графику, будет иметь примерно следующий вид:

.


21.1.1.2.7. Учет колебаний с другими собственными частотами

В веществе могут быть заряды, колеблющиеся с различными собственными частотами ω0 и затуханиями βi, величины зарядов qi могут быть разными, разными могут быть и их массы. С учетом этого формула для n2 примет следующий вид:

.

График зависимости n(ω) при наличии двух собственных частот (N = 2) будет иметь следующий вид:

Опыт подтверждает такой ход зависимости n(ω).


21.2. Групповая скорость

На графике зависимости n(λ), изображенном в 21.1.1, есть участок CDE, где n < 1. Это означает, что фазовая скорость световой волны:

      на участке CDE.

На первый взгляд это утверждение противоречит теории относительности (см. раздел 8), согласно которой скорость света в вакууме является максимально возможной скоростью передачи сигнала. Но монохроматическая волна не может передавать сигнал: она никогда не кончается и нигде не начинается. Такая волна состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых горбов и впадин, ничем не отличающихся друг от друга. Передавать сигнал можно только ограниченным в пространстве и во времени кусочком электромагнитной волны - электромагнитным импульсом. Такой импульс (группа волн) можно представить в виде наложения бесконечного числа монохроматических волн с разными частотами и амплитудами (интеграл Фурье).

Мы, для простоты будем представлять импульс (группу волн) совокупностью двух близких по частоте монохроматических волн:

Здесь мы во втором сомножетеле пренебрегаем величинами Δω и Δk по сравнению с ω и k.

Выражение стоящее в квадратных скобках медленно меняется в пространстве и во времени, т. к. Δω << ω, Δk << k (сравните с 14.3.3). Обозначим его буквой A,

.

Тогда можно считать, что наш импульс (группа волн) - это монохроматическая волна с медленно меняющейся амплитудой:

.

Будем следить за распространением в пространстве точки xm, где амплитуда A максимальна. Назовем групповой скоростью u скорость перемещения в пространстве точки с координатой xm:

.

Максимуму A соответствует обращение в ноль фазы косинуса в выражении для A, т.е.

.

Возьмем производную по времени от этого выражения, в результате получим:

,

откуда

.

Переходя к пределу, получим окончательное выражение для групповой скорости:

.

 


21.2.1. Связь групповой скорости u с фазовой скоростью v

Заменим в полученном только что выражении для групповой скорости круговую частоту ω через v·k (см. 15.2.4), тогда:

.

Выразим производную dv/dk через производную dv/dλ :

.

Так как

,          см. (15.2.4),

то

.

В результате получим для групповой скорости следующее выражение:

.

Если (нормальная дисперсия), то u < v, это область, где показатель преломления n убывает с ростом λ.

Если (аномальная дисперсия), то u > v.

Но в области аномальной дисперсии понятие групповой скорости теряет смысл из-за большого поглощения света.

21.1.1.4. Анализ зависимости n(ω)

Решение задач по физике, электротехнике, математике